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624 2018 年 9 月
向 Smoker 尾部运动。空化云在向尾部运动的过程 因为在轴线方向上没有压力梯度，所以空泡一般不
中逐渐变厚，贴附在壁面上的大空泡和小空泡由于 会沿着轴线移动，但空化云中的大空泡会发生合并，
二阶 Bjerknes 力的作用和壁面的阻滞效应其移动 空化云法线方向的宏观表面张力为零，因为轴线方
速度要慢于上部的小空泡。C 为Smoker的尾部，尾 向的表面张力作用以及二阶 Bjerknes 力的存在，使
部变宽常与大面积是空化云相连接，由于表面张力
杆状结构存在宏观的张力F pull 。杆状结构的空化云
的作用，尾部两侧的空化云呈圆弧状边界。尾部中
与上下两个壁面都有接触，所以不存在厚度的差异。
心处空泡运动速度逐渐变小并与大面积空化云融
空化结构中的 Rod-shaped structure 大多可近
合在一起。
似为直杆，但是仔细测量发现许多杆状结构存在一
Rod-shaped structure 两端都与大面积空化云
或其他杆状结构相连，像一个直杆，由于杆的两侧 定的曲率，如图20所示。图中的Y-branch structure
的法线方向存在压力梯度，所以主 Bjerknes 力推动 由 a 杆、b 杆、c 杆组成，虽然交点 o 发生了移动，但 c
空泡向轴线处汇聚，空泡之间的二阶 Bjerknes 力也 杆一直保持直杆状态，a 杆和 b 杆发生了弯曲，且曲
使空泡相互汇聚，所以大空泡呈线状分布在轴线处。 率逐渐变大。杆状结构的弯曲与其宏观受力有关。
0 ms 38 ms 70 ms
(a) ቇӑፇᄊӑ (b) ڏ(a)ᄊԯҫ
图 20 弯曲的 Rod-shaped structure
Fig. 20 Curved Rod-shaped structure
虽然空化云随着时间不断发生演化，但是相对 线方向单位长度空化云表面之间的拉力，则长
于空泡的生命周期，空化云的运动还是非常缓慢的。 度为 L 的空化云段两侧所受的表面张力为 σh (h
我们认为空化云的运动经历着力学上的准静态过 为薄层厚度)，表面张力引起的沿着法线方向的
程，即每一时刻，空化云的受力都是平衡的(如图 21 力为 2σh sin(θ/2)，如果 θ 很小，则 sin θ 约等于 θ，
所示)。对于一个曲率半径为 R 的弯曲杆状结构来 2σh sin(θ/2) ≈ σhL/R，法线方向受力平衡，
说，杆状结构的两侧都是高压力振幅的水区，压力分
F 2 − F 1 = 2σh/R. (1)
别为 P 1 和 P 2 ，而空化云所在的区域属于低压力振
幅区域，由于压力梯度的存在，空化云中的空泡受到 图 20 中水区 aob 处于辐射面边缘，且面积逐渐
primary
主 Bjerknes 力 (F Bjerknes ) 的作用。如果我们定义单 变小，所以其压力也逐渐变小，杆两侧的受力差值变
位长度上由于 P 1 的压力梯度引起的宏观的沿着法 大，为了保持平衡状态，曲率必然变大。这些性质与
向方向的力为 肥皂泡相似。Y-branch structure 中的交点处空泡
n
∑ primary 相互作用，而每个 Rod-shaped structure 内空泡可
F 1 = F Bjerknes = f (∇P 1 ) ,
i=1 在内部迁移，所以交点很容易移动，可将交点看作
由于 P 2 的压力梯度引起的宏观的沿着法向方向的 是可在任意一个杆状结构上滑动的铰链结构，这种
力为 结构与平面中三个相等的力形成的平衡结构一样，
n
∑ primary 在自然界中很常见。这点与肥皂泡的 Plateau 边界
F 2 = F Bjerknes = f (∇P 2 ) ,
i=1 相似，根据Plateau定理，三个杆构成的结构最稳定，
则长度为 L 的空化云段的法向受力为 (F 2 − F 1 ) L。 且杆状结构之间的交角是 120 。这与前述的角度统
◦
我们定义空化云表面张力 σ 为沿着辐射面的法 计相吻合。
