Page 160 - 《应用声学》2023年第1期

156 2023 年 1 月

N−(b+c) N−(g+c) [ g+a
∑ ∑ g,h g+a g−a
h
g
P = G (p + q) (m + n) (s + t) N−(g+h) · C g 2 p 2 q 2
N
g=a h=b
h+b h+b h−b N−(g+h)+c N−(g+h)+c N−(g+h)−c ]
· C 2 m 2 n 2 · C 2 s 2 t 2 , (1)
h N−(g+h)
其中，G、C 为排列组合数为
g,h
G = N!/[g!h!(N − g − h)!], (2)
N
g!
(g+a)/2
C = , (3)
g
((g + a)/2)! ((g − a)/2)!
h!
(h+b)/2
C = , (4)
h
((h + b)/2)! ((h − b)/2)!
N−(g+h)+c [N − (g + h)]!
C 2 ) ( ) , (5)
N−(g+h) = (
N − (g + h) + c N − (g + h) − c
! !
2 2
当p = q = m = n = s = t = 1/6时，将式(2)∼(5)带入式(1)得
 
N−(b+c) N−(g+c) N
∑ ∑ N! (1/18)

P =  )  . (6)
g + a ) ( g − a ) ( h + b ) ( h − b ) ( N − (g + h)+c ) ( N − (g + h) − c
 (
g=a h=b ! ! ! ! ! !
2 2 2 2 2 2
如果把声波看成一个一个的 “声粒子”，那么超 2 理论仿真
声波在混合物介质中传播时由于受到多种不规则
对于公式 (6)，如果当点 (a, b, c) 确定，即 a、b、c
截面的散射与反射，其传播路径具有很大的 “随机
为整型常数时，则概率 P 为以步数 N 为自变量的函
性”，该过程与上述 “随机游走” 具有较大的相似性，
数。为简便起见，令 b、c = 0，则本理论模型中 P 类
因此本文用公式 (6) 三维随机游走模型来描述超声
比于接收的振幅 A(t)，N 类比于时间 t，a 类比于声
波在混合物介质的传播过程。
波入射点和接收点之间的距离。图4为依据公式(6)
假设在三维空间 O-xyz 原点 O 处释放多个 “声
分别绘出a分别为2、10、12、20、32时的P-N 的函数
粒子”，这些 “声粒子” 以声速 V 0 在 “ 三维马尔科夫
曲线，通过归纳发现以下规律：
链”中进行“随机移动”。考虑各向同性介质，
(1) 当 N < a 时，P = 0，这个阶段相当于声波
p = q = m = n = s = t = 1/6,
在介质中传播尚未达到接收点，即接收点尚未接收
链中每个相邻节点间的距离为常数 d 0 ，则声粒子经 到任何声波信号阶段。
过 N 步传导所走过的距离为 N · d 0 ，经历的传播时 (2) 当N = a 时，P 首次大于零，这个阶段相当
间t = N · d 0 /V 0 。因d 0 、V 0 为常数，因此时间t 正比 接收点首次接收到声波信号，即首波；且P 随a 增大
于传递的步数N。P 为粒子经过N 步传导后到达点 而减少，这说明首波幅值随传输距离的增加而衰减。
(a, b, c) 的概率，P 值越大说明粒子经N 步传导到达 (3) 当a < 12时，N = a时P 即为最大值，这说
点(a, b, c)的可能性越大，即若在O 点同时释放多个 明在传输距离较短的情况下，首波即为峰波。
粒子，P 值越大，点 (a, b, c) 处接收到的粒子数量就 (4) 当 a > 12时，P 最大值未出现在 N = a 处，
越多，对接收波意味着振幅就越大，因此概率 P 正 P 最大值出现的位置随着 a 增加逐步延后，这意味
比于接收波的瞬时振幅A(t)。综上，以公式(6)中传 着在入射波相同的情况下声波传输距离越长，首波
导步数 N 类比接收波时域参数 t，用概率 P 类比接 振幅越小，峰波出现的时间较首波的延时也越来越
收波振幅A(t)。基于此，可尝试用公式 (6)中函数参 长。这条规律可用于解释“峰波延后”现象。
数之间的变化关系来解释超声波在混合物介质传 (5) 对于 P-N，当N→∞时，P→0，该过程产生
播所形成接收波的各种特征。 尾波C。这条规律可用于解释“尾波”的形成机理。