Page 121 - 《应用声学》2023年第4期

第 42 卷 第 4 期 丁栋等： 水中分层弹性球壳高频时域回波的声学编码研究 783

其中，D 是18×18阶矩阵，元素见附录 A；X 是待定
x
系数矩阵，
X = [a n , b n , c n , d n , e n , f n , g n , l n , m n , p n , q n ,
R
1 2 3 4 5 6 o n , r n , x n , z n , s n , v n , w n ], (4)
O z
К࠱ࣱ᭧ฉ T
∗
∗
A = [A , 0, A , 0, · · · , 0] 1×18 , (5)
1
2
其中，A 、A 也列在附录 A 中。根据 Cramer 法则，
∗
∗
1 2
a n 的解为
图 1 4 层材料的球壳声入射示意图 |B n |
a n = , (6)
Fig. 1 Schematic diagram of acoustic incidence of
|D n |
spherical shells with four layers of materials 其中，B n 、D n 为18×18阶行列式，D n 为方程 (3) 的
系数行列式，B n 为用 A 替换 D n 中的第一列所得
表 1 4 层弹性球壳材料属性
到的行列式。
Table 1 Material properties of four-layer
spherical shells 表 2 耦合边界条件
Table 2 Coupled boundary condition
区域 材料 外半径 内半径 密度 声速 杨氏模量 泊松比
1 水 r 1 r 2 ρ 1 c 1 E 1 σ 1 耦合边界 对应位置 边界条件
2 弹性材料 r 2 r 3 ρ 2 c s2 c d2 E 2 σ 2 切向应力等于 0，
区域 1 与区域 2
3 弹性材料 r 3 r 4 ρ 3 c s3 c d3 E 3 σ 3 流 -固耦合 法向应力连续，
区域 5 与区域 6
4 弹性材料 r 4 r 5 ρ 4 c s4 c d4 E 4 σ 4 切向位移连续
切向应力连续，
5 弹性材料 r 5 r 6 ρ 5 c s5 c d5 E 5 σ 5 区域 2 与区域 3 法向应力连续；
固 -固耦合 区域 3 与区域 4
6 空气 r 6 r 7 ρ 6 c 6 E 6 σ 6 切向位移连续，
区域 4 与区域 5
法向位移连续
入射平面波可表示为 p i = e i(kr cos θ−ωt) ，略去
按照形态函数的定义，得到反向散射的远场形
时间因子，展成下面的级数形式：
态函数为
p i = e ik 1 r cos θ 2 ∑ n
∞

f ∞ (π) = (−1) (2n + 1)a n . (7)
∞
∑ n ik 1 R
= i (2n + 1)P n (cos θ)j n (k 1 r), (1) n=0
由形态函数和目标强度的关系，4 层弹性球壳
n=0
式 (1) 中 k 1 为水中波数，P n (cos θ) 为 n 阶的 Legen- 反向散射的目标强度可以表示为

∞
dre函数，j n (k 1 r)是n阶的Bessel函数。 1 ∑ n

TS = 20 lg (−1) (2n + 1)a n . (8)
总声压可以表示为 ik 1 n=0
∞ 理论解析解的验证
∑ n 1.2
p t = i (2n + 1) P n (cos θ)
为了对推导的 4层弹性球壳散射声场简正级数
n=0
[ ]
× j n (k 1 r) + a n h (1) (k 1 r) . (2) 解进行验证，开展了 4 层弹性球壳三维声学有限元
n
仿真研究。计算水下外径为 100 mm 的球壳目标，4
分层球壳的各区域散射波声场可以表示为
层壳材料由外到内分别为铁、铝、铜、铁，4 层厚度均
Legendre 函数和 Bessel 函数级数和的形式，根据应
为0.625 mm。
力应变的关系，可以得到各层边界处的边界条件，在
区 域 1(球 壳 外 部) 为 水 介 质， 密 度 ρ =
流固界面上的边界条件有 3 个，固固界面上的边界
1000 kg/m ，声速 c 1 = 1500 m/s。区域 6 为真空。
3
条件为4个，见表2。
其余区域材料参数见表 3。利用有限元软件建立的
一共组成18个方程组，化简后用矩阵表示为
1/4 三维对称有限元模型如图 2 所示，4 层球壳目标
D · X = A, (3) 强度的解析解和仿真结果见图3。