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第 37 卷 第 5 期 刘金河等： 钹型换能器的优化设计 767

2πEt m 利用式 (7)，可以得到换能器导纳与频率之间的关
Z m = , (6)
jω n 系，并与仿真结果做了对比，如表2所示。表2 中f c 、
其中，
( ) 1 f t 和 ∆f 分别表示换能器仿真结果、理论结果及误
1 e r 2 2πf
e r = , v r = , k r = ; 差，∆f = |f c − f t |/f c 。可以看出，钹型换能器共振
E
2
s (1 − v ) ρ
11 12 v r 频率的理论计算值与数值模拟值比较吻合。
( 2 2 )
s = π R − R , s 1 = 2πR 1 H, s 2 = 2πR 2 H;
2 1
Z r1 = ρV r s 1 , Z r2 = ρV r s 2 ; 表 2 换能器共振频率的理论及仿真结果
m = 2J 1 (µ)I 1 (µ) − Λ [J 0 (µ)I 1 (µ) + I 0 (µ)J 1 (µ)] , Table 2 Theory and simulation results of
resonant frequency of transducer
n = − 2J 1 (µ)I 1 (µ)(1 + σ) + [µ − Λ(1 + σ)]
× [J 0 (µ)I 1 (µ) + I 0 (µ)J 1 (µ)] ; 尺寸 f c/Hz f t/Hz ∆f
2 2
ρω r 1 29032 28802 0.79%
Λ = µ , µ = γa,
2E 2 45865 45151 1.6%
ρtω 2 tE Et 3
4
γ = − , D = .
2
D Dr 2 12(1 − σ )
其中，C 0r 表示径向振动压电陶瓷圆环的并联电容， 3 换能器的机电参数与其几何尺寸关系
N 表示压电陶瓷圆环径向振动时的机电转换系数， 研究
Z 1 、Z 2 、Z 3 代表压电陶瓷圆环的机械阻抗，Z m 代表
3.1 压电陶瓷为圆盘和圆环的钹型换能器共振频
金属浅球壳的机械阻抗。
率的仿真
利用图 2 及上述表达式，得出换能器的输入电
导纳Y 为 由于本文提出的钹型换能器符合轴对称模型，
N 2 所以在 COMSOL 建模时选择轴对称模型 [5] ，压电
Y = jωC 0r + . (7)
Z 1 (Z 2 + Z m ) 效应模块中建立的压电圆环内半径 R 1 为 4 mm，外
Z 3 +
Z 1 + Z 2 + Z m 半径R 2 取值范围设为20∼30 mm，高h为8 mm，材
忽略换能器的机械损耗时，换能器的最大导纳频率
料选为压电材料PZT-4，上表面施加1 V电压，下表
等于其共振频率，换能器的最小导纳频率等于其反
面接地。金属浅球壳的曲率半径 r、厚度 t 和底面半
共振频率。根据式 (7) 就可以计算出换能器的共振
径a 分别为 19.25 mm、1.5 mm 和10.5 mm，材料为
频率和反共振频率 [4] 。
铝合金。在实际的制作过程中，换能器的金属端帽
2.3 仿真与理论结果对比
和陶瓷片间有一层很薄的粘结层，粘结层对换能器
为了验证理论结果，本文选取钹型换能器
的机电性能有一定影响。仿真结果表明，粘结层厚
中 金 属 浅 球 壳 的 材 料 为 铝 合 金， 其 材 料 参 数
度对换能器机电性能影响极小，因此建模时未予考
3
2
为 ρ c = 2790 kg/m ，E c = 7.25 × 10 10 N/m ，
虑。压电陶瓷片上下表面各有一层镀银电极，厚度
ν c = 0.34；压电陶瓷圆环的材料为 PZT-4，其材料
极薄，不影响换能器的机械性能，所以在建模时也没
2
3
参数为ρ = 7500 kg/m ，s E = 12.3 × 10 −12 m /N，
11 有考虑 [6−7] 。之后，将上述压电圆环变成压电圆盘，
2
s E = −4.05 × 10 −12 m /N，ν 12 = 0.33，d 31 =
12 圆盘的半径与圆环的外半径相等，其他材料和条件
T
−123 × 10 −12 C/N，ε /ε 0 = 1300，ε 0 = 8.842 × 不变，计算结果如图3、图4所示。
33
2
2
10 −12 C /(N·m )。换能器的几何尺寸如表1所示。
从图3可以看到，其他条件不变，当压电陶瓷圆
表 1 钹型换能器的几何尺寸 环的外半径与圆盘的半径相等时，压电陶瓷为圆环
Table 1 The geometric size of a Cymbal 的钹型换能器一阶共振频率更低，而且频率越高，这
transducer 种差距越大。从图 4 可以看出，其他条件不变，当压
电陶瓷圆环的外半径与圆盘的半径相等时，压电陶
尺寸 R 1 /mm R 2 /mm T/mm r/mm t/mm a/mm
瓷为圆盘的钹型换能器有效机电耦合系数更高。因
1 11 22 4 29.5 1 17.1
此，在工程设计中，应根据实际需要选择合适的换
2 5 18 5 19.25 1.5 14.2
能器。