Page 126 - 201901

122 2019 年 1 月

区域I、II声场的质点振动速度表达式为 [19] 式 (11)、式 (12) 即为径向声子晶体柱壳在声波激励
 ∫
1 ∂p 下径向位移与应力的表达式。

v r = − dt, r 6 r 0 ,

ρ 0 ∂r 本文重点关注的是反射声场和透射声场的大
∫ (5)
1 ∂p

 小及其分布情况，而采用力学状态向量传递矩阵法，
v r = − dt, r > r 2N ,
∂r
ρ 3
可以直接将内外声场与结构场联立起来求解透射
其中，ρ 0 、ρ 3 分别代表柱壳内外流体的密度。
系数和反射系数，进而能够消除求解结构场各周期
联立式 (1)、式 (2)、式 (4)，推导出声压透射 TR
组元待定系数的复杂性。鉴于在之前的研究中详细
和反射系数RF表达式为
 (1) (1) 地推导了径向波在径向声子晶体柱壳中由内向外

TR = T 0 H 0 (k 3 r)/H 0 (k 0 r) ,

(6) 传播的力学状态向量传递矩阵，本文在计算过程中

 (1) [21]

 RF = R 0 J 0 (k 0 r)/H (k 0 r) . 直接引用相关方程 。
0
求解透射系数以及反射系数的前提需先求出
隔声量的一般通式可表示为
未知系数 R 0 和 T 0 ，应用声固耦合协调条件来进行
TL = −20 lg TR. (7)
求解，即在柱壳内壁 (r 0 ) 和柱壳外壁 (r 2N ) 界面处
联立式 (6)、式 (7) 即可推导出径向声子晶体柱 固体和流体的法向振速相等、固体的法向正应力与
壳隔声量的具体表达式。 流体的声压相等：
径向声子晶体柱壳内外侧的声压级之差为 
( )  ,
σ r (r, ω) | r=r 0 ,r 2N = p(r, ω)| r=r 0 ,r 2N
p out (13)
IL = L out − L in = 20 lg , (8)

p in iωu r (r, ω)| r=r 0 ,r 2N = v r (r, ω) | r=r 0 ,r 2N ,
其中，IL 为声压级之差，L out 、L in 分别表示柱壳内 求解式(13)即可求出系数R 0 和T 0 。
外层的声压级。式(8)中，
p out T 0 H (1) (k 3 r 2N ) 2 数值计算和有限元仿真
0
= . (9)
p in H (1) (k 0 r 0 ) + R 0 J 0 (k 0 r 0 )
0
为了能够说明问题的本质，我们进行一些数值
1.2 结构场方程
算例分析。假定柱壳内外的流体介质为理想状态下
在中心线声源激励下，弹性固体中只存在纵波。
3
的水 (ρ 0/3 = 1000 kg/m , c 0/3 = 1480 m/s)；柱壳
纵波在径向声子晶体柱壳中传播的控制方程表示
本体结构的材料参数如表1所示。
为 [20]
2 2
∂ u rj 2 ∂u rj 2u rj 1 ∂ u rj 表 1 线弹性材料参数
+ − = , (10)
∂r 2 r ∂r r 2 c 2 ∂t 2
Lj Table 1 Linear elastic material parameters
√
式 (10) 中，u rj 代表径向位移，c Lj = (λ j +2µ j )/ρ j
材料 密度 ρ/(kg·m −3 ) 杨氏模量 E/Pa 剪切模量 µ/Pa
为纵波的波速，λ 和 µ 为拉梅常数，j = 1, 2 代表任
钢 7780 20.06 × 10 10 8.10 × 10 10
意组元中的子层1和子层2。
铝 2799 7.21 × 10 10 2.68 × 10 10
方程(10)的通解表示为
有机玻璃 1180 5.35 × 10 10 0.2 × 10 10
u rj (r, ω) = CJ 1 (k j r) + DY 1 (k j r) , (11) 硬橡胶 1200 0.30 × 10 10 0.11 × 10 10
其中，C、D 为待定系数，J 1 、Y 1 分别表示一阶第一
2.1 单一材质柱壳隔声性能分析
类和第二类柱贝塞尔函数，k j 为波数。
2.1.1 壳体厚度(d)
径向应力表示为
首先分析壳体的厚度对隔声性能的影响。图 2
σ rj (r, ω)
给出了在声腔尺寸 r 0 = 0.2 m 情况下，声波在不
( )
2µ j
= C (λ j + 2µ j ) k j J 0 (k j r) − J 1 (k j r) 同厚度 (d) 钢质柱壳中传播时隔声量频响曲线。观
r
( ) 察图 2 我们可以发现，这四条隔声量频响曲线均存
2µ j
+D (λ j +2µ j )k j Y 0 (k j r)− Y 1 (k j r) . (12) 在较为密集的共振峰和节点，当声波频率接近于TL
r