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318 2019 年 5 月

网格步长，相应的最大稳定时间步长也需要减小。
0 引言 2000 年，Yu 等 [7] 提出一种将变形网格面积近似为

规则网格面积的共形技术，虽然精度不如前者，但
中国传统戏曲是我国乃至世界珍贵的艺术文
多用于解决实际的工程问题。2003 年，Li 等 [8] 提出
化遗产，与之相应的演出场所也具有其独特的形式
简化的共形时域有限差分法 (Simplified CFDTD,
和布局。中国传统戏场主要与宗教活动有关，多建
SCFDTD) 将面积小于 1/6 的变形网格近似为规则
于庙宇之间，从 “露台” 逐渐变成三面围观的形式，
网格的 1/6。2007 年，Zagorodnov 等 [9] 提出了有限
部分戏台还设有八字形侧墙、穹顶等建筑构件。据
积分法(Finite integration technique, FIT)，不用减
考察，山西省介休市袄神楼、太原市阳曲县大卜村
小最大的稳定时间步长，运算量和算法逻辑也与阶
关帝庙、晋中市榆次城隍庙悬鉴楼等部分戏楼都设
梯法一样，在现有的 FDTD代码中较易实现。之后，
有八字墙 [1] ，这类八字形侧墙集中出现在山西省内
学者们主要致力于介电参数和多种方法混合使用
的戏场中。薛林平等 [2] 认为，八字墙的设置是古人
方面的研究 [10−12] 。
有意识地改善戏场音质的行为。然而，目前对这一
建筑声学问题的计算机仿真方法，主要有基于
建筑构件的研究还较欠缺，因此本文将利用时域有
几何声学的声学仿真软件和基于波动声学的有限
限差分法(Finite-different time-domain, FDTD)对
元法、边界元法、时域有限差分法。时域有限差分
这类八字墙在戏场中产生的声音效果进行研究。
法算法比较简单有效，可以直观地反映声波在房
时域有限差分法最初由 Yee [3] 提出并应用于解
间里的传播情况，能够直接得到房间任意点的脉冲
决电磁场问题，随后被应用于其他领域的研究。20
响应，从而实现对房间内音质参量的分析。对于戏
世纪 90年代，Botteldooren 等 [4] 开始将其引入了声
场中的非直角边界，本文将借鉴电磁场的共形网格
学领域。在电磁场问题中，传统的 FDTD 方法都是
CFDTD 技术，引进声压更新方程中研究戏场八字
基于 Yee 直角网格对研究目标进行离散化，对于含
墙的声学问题。
有曲面等结构比较复杂的边界采用阶梯近似法。然
而，阶梯近似法会带来较大的阶梯近似误差和数 1 FDTD共形网格技术
值色散误差。为了克服这些缺陷，主要从两个方面
为了便于观察声场变化，本文先考虑二维情形。
解决。其一，减小网格步长。但网格的减小会增大
存储内存，增加计算时间。其二，就是采用共形技 在理想空气介质中，声波运动方程和连续性方程为
术。从 90 年代开始，学者们便提出了多种共形处理 ∂u x + 1 ∂p = 0, (1)
∂t ρ 0 ∂x
方法。1992 年，Jurgens 等 [5] 提出了环路法，但这一
∂u y 1 ∂p
方法缺乏灵活性，在计算编程时较难实现，并没有 ∂t + ρ 0 ∂y = 0, (2)
得到推广。1997 年，Dey 等 [6] 提出了用于电磁场的 ∂p 2 ( ∂u x ∂u y )
= −ρ 0 c + , (3)
共形时域有限差分法 (Conformal finite-difference ∂t ∂x ∂y
time-domain, CFDTD)，该方法仅对磁场进行求解， 其中，p 表示声压；u x 和 u y 分别表示空气质点速度
不需要对电场进行处理，结果精度较高而且编程 沿着 x、y 方向的分量；c 为空气中的声速；ρ 0 为空气
也较容易，但是，CFDTD 技术亦存在计算不稳定 的静态密度。对于常规均匀直角网格，式(1)∼(3)的
的问题，当共形网格的面积很小时，需要减小有效 中心差分交错格式为

n+ 1 ( 1 ) n− 1 ( 1 ) ∆t n n
u x 2 i + , j = u x 2 i + , j − × [p (i + 1, j) − p (i, j)], (4)
2 2 ρ 0 ∆h

n+ 1 ( 1 ) n− 1 ( 1 ) ∆t n n
u y 2 i, j + = u y 2 i, j + − × [p (i, j + 1) − p (i, j)], (5)
2 2 ρ 0 ∆h
∆tρ 0 c 2 [ n+ 1 ( 1 ) n+ 1 ( 1 ) n+ 1 ( 1 ) n+ 1 ( 1 ) ]
n+1
n
p (i, j)=p (i, j)− × u x 2 i+ , j −u x 2 i− , j +u y 2 i, j+ −u y 2 i, j− , (6)
∆h 2 2 2 2