Page 7 - 《应用声学》2020年第2期

第 39 卷 第 2 期 吴礼福等： 频域合成房间频率响应的人工混响方法 165

其中，C 0 为归一化常数，依据文献 [11] 的建议，本 由此可以看出，理论上 H l (k) 的自协方差函数
3
文选择 C 0 = 0.002，V 是房间的体积 (以 m 为单 γ(m) 是 t 0 、τ、P 0 的函数，t 0 由房间体积 V 经式 (3)
位)，f s 是采样率 (以 Hz 为单位)，⌊ ⌋ 是向下取整 确定，τ 由T 60 经式 (7)确定，式(7) ∼ (10) 表明 P 0 由
运算，式 (3) 中 t 0 的单位为采样点数。房间频率 V 、S、T 60 确定，因此 γ(m) 仅仅依赖于房间的混响
响应 RFR 定义为 RIR 的离散傅里叶变换，记为 时间、体积和面积。文献 [11] 指出在频域内可以用
H(k) (k = 0, 1, · · · , T − 1)，则有 自回归滑动平均 (Autoregressive moving average,
ARMA)模型来描述H l (k)，即
H(k) = H e (k) + H l (k), (4)
Φ(z)H l (k) = Θ(z)ε(k), (14)
其中，H e (k) 和 H l (k) 分别为 h e (t) 和 h l (t) 的离散傅
P
里叶变换。早期混响可以用 M 阶具有相应衰减因 ∑ −p
Φ(z) = φ p z , (15)
子的延时求和来表示，在频域内可以表示为 [11] p=0
M−1 Q
∑ ∑
H e (k) = ρ k e −j2πτ k /T , (5) Θ(z) = θ q z −q , (16)
k=0 q=0
其中，ρ k 和τ k 分别为第k 个延时的衰减因子和延时。 其 中， φ 0 = θ 0 = 1， z −1 是 延 时 因 子， 即
后期混响 h l (t) 的合成方法主要依据文献 [11] z −1 H l (k) = H l (k − 1)，ε(k) 是一个方差为 σ 的
2
ε
中的结论，由于后期混响近似以指数衰减，可以 复数高斯白噪声。由式 (14)∼(16) 可以将 γ(m) 和
定义h l (t)的能量时间曲线(Power temporal profile, ϕ(t)表示为
PTP)为 |F T {{θ q } q=0,1,··· ,Q }| 2
ϕ(t) = σ 2 2 , (17)
ε
¯ 2 2 −2t/τ , (6) |F T {{φ p } p=0,1,··· ,P }|
h l (t) = E[|h l (t)| ] = P e
0
P
∑
其中， φ p γ(m − p)
p=0
τ = T 60 f s /[3 ln(10)], (7) 
Q
 ∑
 2 ∗
 σ ε θ q ψ q−m , 0 6 m 6 Q,
1 − e 2/τ = (18)
2
P = σ 2 e 2T /τ , (8) q=m
0 rev 
1 − e 2(T −t 0 +1)/τ 
0, m > Q,

σ 2 rev = (1 − α)/(παS), (9) 其中，m 表示 m 对 T 求余，ψ q 满足 ∑ ∞ ψ q z −q =
q=0
Θ(z −1 )/Φ(z −1 )。
−24 ln(10)V /(cST 60 )
α = 1 − e , (10)
式 (14) 表明如果能估计出 φ p 和 θ q ，则可以用
T 60 是混响时间，S 是整个房间的面积 (以 m 为单
2
ε(k) 去激励 Θ(z)/Φ(z) 得到 H l (k)。而 ARMA 模型
位)，c是声速(以m/s为单位)。
中的参数 φ p 和 θ q 可以从 γ(m) 中通过求解得到，思
统计房间声学理论指出 H l (k) 是一个广义平稳 路是先求解 AR 系数 φ p ，再求解 MA 系数 θ q ，简
的复数高斯随机过程 [11] ，因此定义 H l (k) 的自协方 要的计算步骤是 (细节可以参见文献 [12])：首先，
差函数γ(m)和功率谱密度ϕ(t)为 AR 参数 φ p 可以由式 (18) 通过求解修正的 Yule-
∗
γ(m) = E[H l (k)H l (k − m) ], (11) Walker 方程得到；其次，利用 φ p 和 γ(m) 可以得到
2
∗
1 2 γ (m) = Φ (z −1 )Φ(z)γ(m)，这是由 θ q 和σ 确定的
′
ε
ϕ(t) = E[|F T {H l (k)}| ], (12)
T Q 阶 MA 模型，可以采用 10Q 阶的 AR 模型来近似，
其中，F T { } 是离散傅里叶变换，( ) 表示复数共 因而可以求解标准Yule-Walker 方程得到 10Q个系
∗
轭，应用 Wiener–Khinchin 定理和文献 [11] 中的证 数 φ ；最后，θ q 可以通过逼近 10Q 个系数 φ 求解
′
′
p p
明，可以得到 得到。
γ(m) = F −1 {ϕ(t)} 至此，当给定房间的几何尺寸和混响时间后，
T
1 − e (j2πm/T +2/τ)(T −t 0 +1) 可以计算出房间体积 V 和面积 S，首先由式 (13) 计
2
= P e −2T /τ 1 − e j2πm/T +2/τ . (13) 算得到 γ(m)；其次由 γ(m) 通过求解修正的或标准
0