Page 124 - 《应用声学》2021年第6期

920 2021 年 11 月

壁面压力的 ASD 函数可用 Goody 半经验模型 S pp (x − x , ω) = S AA (ω) e ik(x−x ) , (8)
′
′
来表示，因此S pp (ω)表示为
式(8)中，S AA (ω)是波振幅的ASD函数。
S pp (ω) = 假设壁面平面波之间互不相关，当出现若干壁
3 2 面平面波时，其对应的一组壁面平面波的 CSD函数
3 (δ/U e ) (ωτ w )
,
[ ]
( ) 0.75 3.7 [ ( )] 7 表示为
ωδ ( −0.57 ) ωδ
+0.5 + 1.1R
T N x N y
U e U e UWPW ∑ ∑ ik(x−x )
′
S pp (x − x , ω) = S A a A b (ω) e .
′
(3)
a=1 b=1
式 (3) 中，δ 表示边界层厚度；U e 表示在边界层边缘 (9)
的速度，其大小等于来流速度；τ w 表示壁面剪切应 当 定 义 壁 面 平 面 波 振 幅 的 ASD 函 数 为 公
力；R T = U δ/U e v，U τ 表示摩擦速度，v 表示流体 式 (10)时，即
2
τ
)
a
b
运动黏度。 ϕ TBL ( k , k , ω ∆k x ∆k y
pp
y
x
S AA (ω) = . (10)
壁面压力的归一化 CSD 函数可由 Corcos 模型 4π 2
来表示，其在波数域内表达式为 将公式 (10) 代入公式 (9) 时得到一组非相关壁
TBL 面平面波作用下的压力CSD函数为
ϕ (k x , k y , ω)
pp
′
S UWPW (x − x , ω) =
4α x α y pp
= [ ] [ ], (4)
( ) 2 ( ) 2 N y TBL ( a b )
N x
U c k y U c k x ∑ ∑ ϕ pp k , k , ω ′
x
y
2
α + α + − 1 e ik(x−x ) ∆k x ∆k y . (11)
2
x
y
ω ω 4π 2
a=1 b=1
式 (4) 中，归一化 CSD 函数在流向和展向的指数衰 至此，TBL 激励下的壁面压力 CSD 函数等于
减系数分别为α x = 0.1和α y = 0.77。 一组非相关壁面平面波作用下的壁面压力 CSD 函
空间 -频率域下的 CSD 函数与波数 -频率域下 数。即当壁面平面波的振幅为公式 (10) 时，TBL 激
CSD函数有如下关系： 励下壁面压力可以由一组非相关壁面平面波下壁
S TBL (x − x , ω) 面压力表示。此方法将 TBL 激励的壁面压力表示
′
pp
∫ 为输入，可以与有限元模型进行耦合来计算结构振
1 TBL ik(x−x )
′
= ϕ pp (k, ω) e dk, (5)
4π 2 动响应。
∞
式(5)中，i表示虚数单位。由于公式 (5)中二重反常 由一组非相关壁面平面波模拟的在节点n处的
积分存在于波数 -频率域内，在指定频率下，对该二 第m次壁面压力可表示为
重积分采取矩形截断求和方法进行等效。因此，公 ∑ ∑ √ m n
N y
N x
m
n
P (x , ω)= (ω) e iφ ab e ikx . (12)
式(5)可近似如下： S A a A b
a=1 b=1
N y
N x
TBL
b
a
S pp (x − x , ω) ≈ 1 ∑ ∑ ϕ TBL ( k , k , ω ) 将公式 (10) 带入公式 (12)，并结合公式 (2)∼
′
pp
x
y
4π 2 (4)，对于有限元模型上节点 n，其在第 m 次模拟的
a=1 b=1
′
× e ik(x−x ) ∆k x ∆k y , (6) 壁面压力为
m
n
n
p (x , y , ω)
式 (6) 中，∆k x 、∆k y 分别表示流向和展向对应的波
√
)
数分辨率，取值为 ∆k x = ∆k y = 0.25 rad/m；N x 、 ∑ ∑ ϕ TBL ( k , k , ω ∆k x ∆k y
N y
a
N x
b
pp
y
x
=
N y 表示流向和展向截断的个数。 4π 2
a=1 b=1
壁面平面波只在板的表面被定义，因此壁面平 i(k x x +k y y +φ m )
n
n
× e ab , (13)
面波是一个表面波。假设某一壁面平面波作用下结
式中：x 和 y 代表在流向和展向的坐标轴，(k x , k y )
构表面的壁面压力为
代表各个壁面平面波的波数域下坐标，(x , y ) 代
n
n
P(x, t) = P(t)e iωx . (7)
表节点坐标，∆k x 和∆k y 代表流向和展向的波数分
其壁面压力对应的空间-频率域下的 CSD函数 辨率，φ 代表随机相位，属于 [0, 2π]。由公式 (13)，
m
ab
表示为 以表 1 中的车窗外侧玻璃参数和外流体参数为输