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第 38 卷 第 2 期                    邢拓等: 膨胀腔类超材料的传递损失                                           225


                 结合边界条件式(3),应用伽辽金加权残数法可                        2.1  模型建立
             以得到如下有限元方程           [20] :                           二维简单膨胀腔结构如图 1 所示,其实际结

                             2
                       (K − k M)p = −jρ 0 ωv n F ,      (4)    构采用 3D 打印技术制成,其原材料为低黏度光敏
                             xy
                          ∫                                    树脂。该结构的密度是 1200 kg/m ,杨氏模量为
                                                                                               3
             式(4) 中,K =            T
                             N T N dΩ 为广义刚度矩阵,N T
                                   T                                9                                      3
                           Ω                                   2×10 Pa,泊松比为 0.41。空气密度为 1.2 kg/m ,
                                      ∫
                                              T
             为形函数的梯度矩阵;M =               NN dΩ 为广义质            声速 340 m/s。有限元模型利用 COMSOL Multi-
                                       Ω                       physics 建立,共包含两种模型,一种是未考虑结构
             量矩阵;在计算域 Ω 内边界 Γ 条件是法向质点振动
                                       ∫
             速度,其边界振动矩阵为F =                NdΓ。                振动的原始设计模型,另一种是考虑结构振动的声
                                                               固耦合模型。其中声固耦合模型如图 2 所示,该模
                                         Γ v
                 结构固体域的控制方程可以写为               [21]
                                                               型分为固体域和压力声学域两部分。对于固体域部
                                  2
                             −ρ s ω u = ∇S,             (5)    分,结构的上下端口处,采用固定约束处理。压力声
                                −jk z = λ,              (6)    学域部分包括:完美匹配层、背景压力场和空气层
             其中,ρ s 为固体密度,u 是节点位移场,S 是结构应                      构成,具体见图 2 中标示。背景压力场选择振幅为
             力,S = C (E, ν) : ε,E 是杨氏模量,ν 为泊松比,“:”             1 Pa的垂直向下入射平面波。完美匹配层采用六面
                             1  [    T     ]                   体网格剖分,膨胀腔和其他空气层均采用自由四面
             代表张量积,ε =          (∇u) + ∇u 是结构的应变,
                             2                                 体网格剖分,共计求解自由度数为728409。
             k z 为平面外波数,λ 是Lamé参数。
                 声-结构耦合边界的耦合方程:
                           (      )
                               ∇p                                     ߹ᎿӜᦡࡏ
                        − n −         = nu tt ,         (7)                                 ʽቫ᭧ڍࠀጞౌ
                               ρ c  up                                ᑀఀԍҧڤ
                           (      )
                               ∇p
                        − n −           = −nu tt ,      (8)
                               ρ c
                                   down
                       F A = (p down − p up ) n,        (9)
             其中,n是表面法向方向,u tt 代表结构加速度,F A 为                           ߹ᎿӜᦡࡏ                 ʾቫ᭧ڍࠀጞౌ
             结构载荷。
                 当背景压力场选择平面波入射时,可具体
                                                                         图 2  膨胀腔消声器的有限元模型
             表示为
                                                                  Fig. 2 Finite element model of expansion chamber
                                       (x·e k )
                           p in = p 0 e −jk s  |e k |  ,  (10)    silencer
             其中,p in 入射平面波声压,p 0 是声压振幅,k s 为波
                                                               2.2  实验方案
             数,x是边界位置,e k 为方向波矢量。
                 因此,该膨胀腔的传递损失可以写成:                                 该 膨 胀 腔 结 构 的 主 要 设 计 隔 声 范 围 为

                                        p in                 800∼1200 Hz,其实际结构如图 3 所示,其中左边
                         TL(dB) = 20 lg     ,        (11)

                                        p out                  为加厚结构,右边为普通结构。利用B&K公司4206
             其中,p out 为声波通过结构后的输出声压。                           型阻抗管系统,测试该样品的传递损失。所有结
                                                               构的管道直径为 29 mm,管道伸出长度为 20 mm,
             2 模型建立及实验方案
                                                               结合膨胀腔的设计要求,确定膨胀腔内部直径为
                 针对声固耦合问题通常采用有限元的方法计                           150 mm,膨胀腔内部空气层厚度为 10 mm,普通
             算,将模型剖分后把网格节点的振动和声压联系起                            结构壁厚为 2 mm,加厚结构壁厚为 6 mm。该测试
             来,把结构振动作为边界激励条件,将边界振动转化                           系统采用四通道传递函数法测试,选择小管 (直径
             为声压的波动,再用边界振动矩阵去修正结构的刚                            29 mm) 测试系统,将 3D 打印样品与阻抗管系统连
             度矩阵,达到求解目的。                                       接,如图4所示。
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