Page 102 - 应用声学2019年第5期

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化而改变。假设声源深度为 z s 、功率为 W s 时，可以 其中，Ω mnkl = Ω mn − Ω kl ，当且仅当 m = n 或者
得到区域I的简正波系数如下： k = l 时所对应分量对声强起伏起主要作用。
I
C m = √ ρ w c s W s exp(iπ/4)ψ m (z s ), (8) 运用抛物方程模型 (RAM) 对上面的波导环境
进行仿真，中心频率是 150 Hz，带宽 50 Hz，可以得
式(8)中，c s 为声源处海水声速。区域II中由于孤子
出前五号简正波的数值，如表1所示。
II
内波的存在，简正波系数 C (r) 可以用一阶微分方
m
表 1 简正波模型计算得到的前五号简正波数值
程来求得：
Table 1 The first five normal wave values
II
dC (r) ∑
II
m = i V mn C (r) exp(−i∆q mn r), (9) calculated by normal wave model
dr n
n
其中，∆q mn = q m − q n ，V mn 的表达式为 简正波号数 简正波值
∫ ∞ 1 0.6286010146 − 0.1261870202 × 10 −3 i
1 ρ w 2
V mn (r)= √ δk (r, z)ψ m (z)ψ n (z)dz, −3
2 q m q n ρ(z) 2 0.6103515625 − 0.2564936294 × 10 i
0
(10) 3 0.5958603024 − 0.3400784219 × 10 −2 i
式 (10) 中，k(r, z) 表示在区域 II 中有内波扰动的波 4 0.5939254761 − 0.3105576849 × 10 −2 i
数，在区域 I和区域 III 中用 k 0 (z) = ω/c 0 (z) 表示无 5 0.5932464600 − 0.1432724996 × 10 −2 i
内波扰动时的波数，由于内波扰动引起的波数变化
通过公式 (17)，已推导出浅海孤子内波环境下
2
δk (r, z)，并且符合k (r, z) = k (z) + δk (r, z)。
2
2
2
0
两点水平纵向相关系数的一般表达式，它是由多号
II
C (r) = a m (r) exp(−iq r), (11) 简正波共同干涉作用的结果。当在上述波导环境中
m
m
将式(11)代入式(9)可得 时，因为只有两号简正波起主要作用，这样就会得到
da m ∑ 与文献 [8]相同的表达式，但是当环境中存在多号简
− iq m a m = i V mn a n . (12)
dr 正波起主要作用时，文献 [8] 的表达式就不再适用，
n
在区域II内，式(12)可以写成如下形式： 只能运用本文推导出的公式(17)来进行研究。并且
它反映出水平纵向相关系数只与孤子内波的速度
a(r) = U(r − R)a(R), (13)
和特征宽度有关，而孤子内波幅度变化不是很大时
由式(13)可得矩阵U 只与内波参数有关。然后分别 对水平纵向相关系数周期和幅度的影响甚微，可以
利用区域I、区域II和区域II、区域III边界条件可得 忽略。
∑ I 根据上述波导环境将前两号简正波数值代入
III
C = S mn (L)C exp[−i∆q mn R], (14)
m n
n 前面理论得到的结果，由公式 (17) 可得周期性只与
式 (13) 中，S mn (L) = U mn (L) exp(−iq m L)，并且同 exp(−(q m − q n )vt) 有关，只有两号简正波的周期性
样只与内波参数有关与内波位置无关，则区域III中 可以表示为
的声压可以写成：
|q 1 − q 2 | vt = 2π, (18)
∑
P(r, z, ω) = P mn (r, z) exp(−i∆q mn vT), (15)
其中，v 表示孤子内波速度。如上所设v = 1 m/s，得
m,n
t ≈ 2π/(v|q 1 −q 2 |) = 6 min。
式(15)中，
在理论推导得出水平纵向相关性随时间变化
C 1
n
P mn (r, z) = √ S mn (L)ψ m (z) exp(iq m r). (16) 的基础上，再利用上述环境和抛物方程模型得到的
rq m
声压数据来计算水平纵向相关系数，如图4 所示：蓝
根据相关函数表达式可得
∫ 色实线表示模型计算得到的水平纵向相关系数，红
ω 2
∗
exp(iωτ)P(r, z, w)P (r + ∆r, z, w)dω 色虚线表示理论计算结果，理论值与计算值得到水
ω 1 平纵向相关系数周期约为 6 min，并且水平纵向相
∫
∑
ω 2 ∑
∗
= exp(iωτ)P mn (z, ω) P (z, ω) 关系数幅度大小也基本吻合。
kl
ω 1 m,n k,l
从物理机制上对只有两号简正波时水平纵向
× exp(−iΩ mnkl T)dω, (17)
相关系数的周期性进行阐述。图5 传播损失中也可