Page 77 - 《应用声学》2020年第1期

第 39 卷 第 1 期 汤天知等： 三维感应成像测井仪设计与实现 73

       
′′ ′′
′′ ′′
′′
Φ xx Φ xy Φ xz R x H M,x x H M,x y H M,x z M x
′′
       
¯        
Φ M =  Φ yx Φ yy Φ yz  =  R x  µ  H M,y x H M,y y H M,y z M x 
′′ ′′  
′′ ′′
′′
′′
       
′′
Φ zx Φ zy Φ zz R x H M,z x H M,z y H M,z z M x
′′ ′′
′′ ′′
′′
M
 
′′
N Rx A Rx N T x A T x H M,x x N Rx A Rx N T y A T y H M,x y N Rx A Rx N T z A T z H M,x z
′′ ′′
′′ ′′
′′
 
2  ′′ ′′  , (1)

= iωµ I 0  N Ry A Ry N T x A T x H M,y x N Ry A Ry N T y A T y H M,y y
′′ ′′ N Ry A Ry N T z A T z H M,y z
′′
′′
 
′′ ′′ N Rz A Rz N T z A T z H M,z z
N Rz A Rz N T x A T x H M,z x ′′ N Rz A Rz N T y A T y H M,z y ′′ ′′
′′
正交屏蔽接收线圈系上磁通量组成的张量为
       
′′ ′′
′′ ′′
′′
′′
Φ xx Φ xy Φ xz   B x   H B,x x H B,x y H B,x z   M x 

¯
Φ B =   =  B x   ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′   M x 
µ
 Φ yx Φ yy Φ yz     H B,y x H B,y y H B,y z   
Φ zx Φ zy Φ zz B x H B,z x H B,z y H B,z z M x
′′
′′
′′ ′′
′′ ′′
B
 
′′ ′′
N Bx A Bx N T x A T x H B,x x N Bx A Bx N T y A T y H B,x y N Bx A Bx N T z A T z H B,x z
′′
′′
′′ ′′
 
  (2)
= µ N By A By N T x A T x H B,y x N By A By N T y A T y H B,y y ′′ ′′ ,
′′ ′′ N By A By N T z A T z H B,y z
′′
′′
 
N Bz A Bz N T x A T x H B,z x ′′ N Bz A Bz N T y A T y H B,z y ′′ ′′
′′ ′′ N Bz A Bz N T z A T z H B,z z
′′
总磁通量组成的张量为
¯ ¯ ¯
Φ = Φ M + Φ B
 
N Rx A Rx N T x A T x N Rx A Rx N T y A T y N Rx A Rx N T z A T z
 
′′ ′′
′′
′′
′′
′′ ′′
′′ ′′
′′ ′′
(H M,x x + α x H B,x x ) (H M,x y + α x H B,x y ) (H M,x z + α x H B,x z )
′′
 
 
 N Ry A Ry N T x A T x N Ry A Ry N T y A T y N Ry A Ry N T z A T z 
= µ   , (3)
 
′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′
 (H M,y x + α y H B,y x ) (H M,y y + α y H B,y y ) (H M,y z + α y H B,y z ) 
 
 
N Rz A Rz N T x A T x N Rz A Rz N T y A T y N Rz A Rz N T z A T z
 
(H M,z x + α z H B,z x ) (H M,z y + α z H B,z y ) (H M,z z + α z H B,z z )
′′ ′′
′′
′′ ′′
′′ ′′
′′ ′′
′′
′′
′′
N Bx A Bx N By A By N Bz A Bz
其中，α x = ，α y = ，α z = ，
N Rx A Rx N Ry A Ry N Rz A Rz
 2 2 2
1 [ ( ) 2 sin γ − cos γ cos θ
L
 2 jk v S ik v S ik h L
 H M,x x = sin γ k v Sk h L e + ik h L( e − e )

 ′′ ′′ 3 2
 4πL S sin θ


 ]

 ik h L 2 2 2 ik h L
 +(ik h L − 1) e + cos γk L e ,
 h




 2
 [ ( ) 2 2 2
 1 L cos γ − sin γ cos θ
2
 H M,y y = cos γ k v Sk h L e ik v S + ik h L( e ik v S − e ik h L )

 ′′ ′′ 3 2
 4πL S sin θ



 ]
 ik h L 2 2 2 ik h L
 +(ik h L − 1) e + sin γk L e ,
 h




1 [ ]
H M,z z = − ik h L( e ik v S − e ik h L ) − 2(ik h L − 1) e ik h L , (4)
′′ ′′
 4πL 3

 2
 [( ) 2
 sin γ cos γ L jk v S (cos θ + 1) ik v S ik h L
 H M,x y = H M,y x = k v Sk h L e + ik h L( e − e )


′′ ′′
′′
′′
2
 4πL 3 S sin θ



 ]

2
2
 −k L e ik h L
 ,
 h




 [ ]
 1 cos γ cos θ ik v S ik h L

 H M,x z = H M,z x = ik h L( e − e ) ,
′′ ′′
′′
′′
 3
 4πL sin θ



 1 [ sin γ cos θ ]
 ik v S ik h L
 H M,y z = H M,z y = ik h L( e − e ) ,

′′ ′′
′′ ′′
4πL 3 sin θ