Page 66 - 《应用声学》2020年第4期

552 2020 年 7 月

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本文将讨论刚性椭球粒子和液体椭球粒子的 1 dS(θ)
其中，n = e r − e θ ，e r 和e θ 分别代表
声辐射力特征，由于液体椭球粒子与周围流体介质 S(θ) dθ
椭球粒子外形的径向方向和切向方向的单位向量。
阻抗差异很大，液体椭球粒子即可认为是刚性椭球
粒子。基于液体椭球粒子能包括刚性椭球粒子的原
yϕ
因，所以下面将介绍液体椭球粒子的推导过程。
对于液体椭球粒子内，其入射声场表达式为 xϕ y
φ∋
∑ R
i m x
p = p 0 a nm B 0n j n (k 1 r) Y (θ, ϕ) , (4)
n
1
nm b φ
zϕ r
其中，B 0n 表示椭球液体介质内入射波的无量纲分 β a θ
波系数，k 1 表示椭球液体介质内入射波波数。 z
Besselฉౌ ೹ုዢߕ
图 1 已经给出了椭球粒子的物理模型，其外形
的表达式为 图 1 零阶 Bessel 波束入射椭球粒子
( 2 2 ) −1/2 Fig. 1 The spheroid illuminated by the zeroth
cos θ sin θ
S(θ) = + , (5) order Bessel beam
a 2 b 2
其中，a 为椭球体的极半径，b 为椭球体的赤道半径。
将式 (1)、式 (2) 和式 (4) 代入式 (6) 和式 (7)，可
从式 (5) 中可发现，该椭球体的外形表达式 S (θ) 只
得到声场的表达式为
与散射角 θ 有关。当 a > b 时，该椭球是细长椭球；
当a < b 时，该椭球是扁平椭球；当a = b 时，该椭球 ∑ a nm [Γ nm (θ, ϕ) + A 0n Λ nm (θ, ϕ)]
将退化成为标准球，与散射角θ 无关。 nm
∑
ρ 0
对于液体椭球粒子和周围理想流体介质，其表 = a nm B 0n X nm (θ, ϕ) , (8)
ρ 1
面的边界条件是声速连续边界条件和声压连续边 nm
∑
界条件，即 a nm [E nm (θ, ϕ) + A 0n Φ nm (θ, ϕ)]
nm
1 ( i s ) ∑
∇ p + p 0 · n r=S(θ) (9)
0
iρ 0 ω = a nm B 0n H nm (θ, ϕ) ,
nm
1 ( )
i
= ∇ p 1 · n| r=S(θ) , (6)
iρ 1 ω 其 中， Γ nm (θ, ϕ)、 Λ nm (θ, ϕ)、 X nm (θ, ϕ)、
( i )
p + p s r=S(θ) = p 1 r=S(θ) , (7) E nm (θ, ϕ)、Φ nm (θ, ϕ)和H nm (θ, ϕ)的关系分别为
i
0
0
       
    ′    
Γ nm (θ, ϕ)   k 0 j (k 0 S(θ))   j n (k 0 S(θ))  
n
m
  imϕ    m  (1)  1 dS(θ) dP (cos θ) 
n
Λ nm (θ, ϕ) = ξ nm e k 0 h ′ (1) (k 0 S(θ)) P (cos θ) − h n (k 0 S(θ)) 2 ,
n
n
       S (θ) dθ dθ 
       
′
 X nm (θ, ϕ)    k 1 j (k 1 S(θ))   j n (k 1 S(θ))  
n
(10)
   
∫ 2π ∫ π
    m ′
 E nm (θ, ϕ)   j n (k 0 S(θ))  m ∗
n
n
    Y (θ, ϕ) Y ′ (θ, ϕ) sin θdθdϕ
(1)
Φ nm (θ, ϕ) = ξ nm e imϕ h n (k 0 S(θ)) 0 0
   
    = δ nn δ mm , (12)
H nm (θ, ϕ) j n (k 1 S(θ))
    ′ ′
m
× P (cos θ) , (11) 将式(12)代入式(8)和式(9)，可得
n
+∞ +∞ +∞ +∞
∑ ∑ ρ 0 ∑ ∑
m
其中，dP (cos θ)/dθ (γ l,n + A 0n Ω l,n ) = B 0n K l,n ,
n
( ) l=0 n=0 ρ 1 l=0 n=0
1 [ m
= − (n + 1) cos θP (cos θ) (13)
n
sin θ
+∞ +∞ ∑ ∑
+∞ +∞
∑ ∑
]
− (n − m + 1) P m (cos θ) 。 (M l,n +A 0n N l,n ) = B 0n Π l,n , (14)
n+1
l=0 n=0 l=0 n=0
m
根据球谐函数Y (θ, ϕ)的正交特性，即 其中，
n