Page 67 - 《应用声学》2020年第4期
P. 67
第 39 卷 第 4 期 王明升等： 椭球粒子声辐射力计算及分析 553
′
k 0 j (k 0 S(θ))
γ l,n
l n ∫ n
π
∑ ∑ m
= k 0 h ′ (1) (k 0 S(θ)) P (cos θ)
Ω l,n a nm ξ nm · 2πδ ml ′ n n
l =−l m=−n 0
′
′
k 1 j (k 1 S(θ))
K l,n
n
j n (k 0 S(θ))
m
1 dS (θ) dP (cos θ)
(1) n l ′
− h n (k 0 S(θ)) 2 · P (cos θ) sin θdθ,
l
S (θ) dθ dθ
j n (k 1 S(θ))
j n (k 0 S(θ))
M l,n
l n ∫
π
∑ ∑ (1) m l ′
= a nm ξ nm · 2πδ ml · h n (k 0 S(θ)) P (cos θ) · P (cos θ) sin θ dθ.
N l,n ′ n l
l =−l m=−n 0
′
j n (k 1 S(θ))
Π l,n
根据以上推导的公式，可求得液体椭球粒子在 和液体椭球粒子，其远场散射形态函数可表示为
Bessel波束照射下周围流体介质散射波的无量纲分
f ∞ (kr 0 , θ, ϕ)
波系数 A 0n 。但是，与液体椭球粒子的边界条件不
2 ∑ −n m
同，刚性椭球粒子的边界条件是 Neumann 边界条 = a nm i A 0n Y (θ, ϕ) , (16)
n
ikr 0
件 [10] 。 nm
声辐射力为一个周期内粒子的平均辐射应力 其中，r 0 = max(a, b)。
张量对粒子表面的积分，根据文献[11]可知，椭球粒 为了验证椭球粒子的声辐射力函数的正确性，
子的轴向声辐射力函数为 图2 给出了空气中水滴椭球粒子在零阶 Bessel 波束
1 ∑ 和一阶 Bessel 波束入射下轴向声辐射力函数，其结
Y z = 2 Im (a nm + s nm )
k S c 果与文献 [12] 和文献 [13] 的结果完全一致，说明了
0 nm
( ) 以上推导公式的正确性。对于粒子负声辐射力的产
· s ∗ c n+1,m −s ∗ c n,m , (15)
n+1,m+1 l−1,m
生原因，可通过图3对比可知。图3给出了细长椭球
其中：S c 代表椭球粒子截面部分的面积，对于标准
粒子在一阶Bessel波束(β = 75 )入射下，入射频率
◦
球形粒子，S c = πa ；对于细长椭球粒子和扁平椭球
2
分别为 kb = 1.6 和 kb = 2 的散射形态函数，从图中
2
粒子，S c = πb 。s nm = a nm A 0n 是散射波的散射系
观察可知当粒子的背向散射受到极大的抑制时，即
数，
√ 粒子的前向散射轴向投影的分力大于粒子背向散
[(n − m)(n + m)]
c n,m = , 射轴向投影的分力，根据牛顿第三定律，粒子将会产
[(2n − 1)(2n + 1)]
生背向的运动的合力，因此粒子将产生负声辐射力
Y z 表示声辐射力函数，即代表声辐射力在单位声能 的效果。
量密度和单位截面面积下的声辐射力的幅值。由于 根据轴向声辐射力F z 的推导公式 [7] ，
本文中只讨论 Bessel 波束轴向入射的情况，因此可
−1
知Y x = 0和Y y = 0。 F z = P sca c 0 (cos β − ⟨cos θ⟩)
+ P abs c −1 cos β, (17)
0
2 理论检验及分析
其中，⟨cos θ⟩ 表示对整个散射角度取平均。对于
上文中已经推导了液体和刚性椭球粒子的声 无能量吸收的粒子，当 ⟨cos θ⟩ > cos β 时将会有负
辐射力公式，下面将检验以上推导的公式正确性。对 声辐射力产生，并且 ⟨cos θ⟩ 与粒子的外形、介质
于空气中的水滴，由于其两种介质的阻抗差异很大， 等存在很大的关系。因此在下文讨论中，刚性椭
因此此时可认为水滴是刚性介质。以空气中的椭球 球粒子和液体椭球粒子在零阶 Bessel 波束和一阶
3
水滴粒子为例，空气的密度为 ρ 0 = 0.00129 kg/m ， Bessel 波束照射下，其负声辐射产生的初始角度存
3
声速为c 0 = 340 m/s，水的密度为ρ 1 = 1000 kg/m ， 在明显的区别，这也说明了粒子操控技术的难易
声速为 c 1 = 1480 m/s。另外，无论是刚性椭球粒子 程度。
