Page 143 - 《应用声学》2021年第5期

第 40 卷 第 5 期 胡晓丹等： 不锈钢折弯板裂纹 Lamb 波检测技术 787

稳定良好的信号，选择频率为 0.25 MHz、0.5 MHz 其中，σ 表示柯西应力，C 表示弹性模量张量，ε是应
和 1 MHz 的 S0 模态进行研究。由于导波的检测能 变张量，u 表示位移场，ρ表示材料的质量密度，∇符
力与波长密切相关，波长随频率连续变化，故研究 号代表全偏导算法。在频域中求解方程，假设在频率
该3 个频率模态点，便可选出低频段 S0 模态的敏感 为ω 情况下，位移 u = u(ˆ s) e iωt ，应力 σ = σ(ˆ s) e iωt ，
频段。 其中ˆ s(x, y, z) 表示笛卡尔坐标下的波导介质上点

的位置，得到新的线性动量平衡方程为
2 Lamb波传播的频域有限元仿真
2
∇ · σ(ˆ s) + ρω u(ˆ s) = 0. (7)
2.1 基于频域有限元法建立COMSOL仿真模型
工程中常使用数值分析方法对超声导波的传 利用半解析有限元法求解等式(7)，可以得到指
播过程进行有限元仿真，包括时域有限元法 (Time 定频率下的位移场 u(ˆ s)。由于裂纹缺陷的存在对位
domain finite element method, TDFE) 和频域有 移场有明显影响，可通过建立仿真模型，激励指定频
限元法 (Frequency domain finite element method, 率点 Lamb波，计算有无缺陷的位移场变化情况，进
FDFE)。相比时域有限元法，频域有限元法计算效
而判断不同Lamb波的缺陷检测效果。
率更高，时间成本更低，且能够满足分析需求，故本
COMSOL 是一款应用于多物理场交叉学科的
文采用频域有限元法进行仿真建模。
数值计算和复杂工程问题的仿真软件，以有限元法
线 性 弹 性 波 导 的 控 制 方 程 [12] 由 式 (4)∼(6)
为基础，通过求解偏微分方程或偏微分方程组来实
所示，
现真实物理现象的仿真，用数学方法求解真实世界
σ = Cε, (4) 的物理现象。选择固体力学模块中的频域求解器，
∇ · σ = ρ¨u, (5) 建立二维仿真模型，如图 2所示，材料特性参数依据
T
ε = [∇u + (∇u) ]/2, (6) 表1设置。
9000 7000
A2 A3
8000 A1 S4 S5
S2 S3 A4 A5 6000
7000 S1 5000 S0 S1 S2 S3 S4
C p/(mSs -1 ) 6000 S0 C g /(mSs -1 ) 4000 A0 A1 A2 A3 A4
5000
4000
3000 A0 3000
2000
2000
1000
1000
0 0
0 5 10 15 0 5 10 15
fSd/(MHzSmm) fSd/(MHzSmm)
(a) ᄱᤴए (b) Ꮖᤴए
图 1 钢板 Lamb 波频散曲线
Fig. 1 Lamb wave dispersion curve of steel plate
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 A


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图 2 不锈钢折弯板二维仿真模型
Fig. 2 Two-dimensional simulation model of stainless steel bending plate