Page 63 - 《应用声学》2021年第5期

第 40 卷 第 5 期 沈敏等： 含损伤黏弹性阻尼加筋层合板声功率和指向性变异 707

θ z ，节点自由度可用向量表示为 式 (8) 中，A 1 和 A 2 分别为板、梁横截面面积；e 为梁
的中性轴到板中面的距离；e 为梁的中性轴到组合
∗
T
{d i } =(u i , v i , w i , θ xi , θ yi , θ zi ) , i = 1, 2, 3, 4. (1)
截面中性轴距离。
构建黏弹性复合板结构的能量泛函数，得到自
将公式 (6) 的刚度矩阵与公式 (8) 进行集成，可
由阻尼复合板结构单元质量矩阵和单元刚度矩阵： 得到偏心梁单元的刚度矩阵为
∫∫
T
b,v
T
M ep = ρ b,v N N dΩ e , (2) K ∗ = H K eL H, (9)
Ω eL
∫∫ ∫∫
b
b
T
T
K b = B D B b dΩ e + B D B s dΩ e , 式 (9) 中，K ∗ 为偏心梁单元刚度矩阵，K eL 为无偏
eL
b
ep
s
b
s
Ω Ω 心的梁单元刚度矩阵，H 为变换矩阵，具体可参考
(3)
文献[18]。
∫∫ ∫∫
T
v
T
v
K v = B D B b dΩ e + B D B s dΩ e , 最后对梁板组合结构的单元刚度矩阵进行组
s
s
b
b
ep
Ω Ω 装，得到系统的总刚度矩阵，以复刚度法表达自由
(4)
阻尼层的黏弹性材料特性，根据 Hamilton 变分原
v
b
其中，M ep 和 M ep 分别表示基板和黏弹性阻尼层 理，可得复合材料加筋板在频域的有限元动力学
v
b
的单元一致质量矩阵，ρ 和 ρ 分别是基板和黏弹
方程为
性阻尼层的密度，N 为Mindlin板单元形函数，K b jωt
ep
v
和 K 分别为基板和黏弹性阻尼层的单元刚度矩 [M]{¨ x} + [C]{ ˙ x} + [K]{x} = {F } e , (10)
ep
b
v
阵，D 和D 分别为基板和黏弹性阻尼层的弯曲弹 其中，[M]为总质量矩阵，[K] 为总刚度矩阵，[C] 为
b
b
b
v
性矩阵，D 和D 分别为基板和黏弹性阻尼层的剪 总阻尼矩阵，结构无阻尼取零值，{x}和{F }分别为
s
s
切弹性矩阵，B b 和B s 分别为弯曲和剪切应变矩阵, 板结构节点的总位移向量和激励力向量。
具体形式可参考文献[17]。 当激振力为谐波激励 F e jωt 时，根据有限元法
可以得到结构振动速度响应为
1.2 加强筋Timoshenko梁单元有限元模型
( 2 ) −1
{v} = −ω [M] + jω[C] + [K] {F }jω. (11)
Timoshenko 梁单元考虑剪切变形和面内旋转
的影响，属于扰度 w 和截面转动 θ 各自独立插值的
2 声辐射数值模型
单元。Timoshenko 梁单元为 2 节点梁单元，每个节
点有6个自由度：节点线位移u、v、w 和转角θ xi 、θ yi 、 2.1 声辐射功率
θ zi ，节点自由度可以用向量表示为 计算板的声辐射功率时，假设该板镶嵌在一块
T
{d i } = (u i , v i , w i , θ xi , θ yi , θ zi ) , i = 1, 2. (5) 无穷大的障板上，如图2 所示。在这块障板上，仅嵌
入的板表面振动时向半空间辐射噪声。
从而可以导出梁单元刚度矩阵为
z
∫ l y
T
K eL = B D L B L dl, (6) p↼r↽
L
0
∫
l ౜
T
M eL = N ρ eL N L dl, (7) ⊲
L
0 r֓r s  w↼r s ↽
其中，K eL 和M eL 分别为不考虑偏置梁单元的刚度 o r s ds
x
矩阵和一致质量矩阵，N L 为 Timoshenko 梁单元形
૕౜
函数，D L 为梁单元的弹性矩阵，B L 为梁单元的应
变矩阵，具体形式可参考文献[17]。 图 2 板振动辐射声压示意图
Fig. 2 Vibrated panel radiated sound pressure
1.3 板梁组合结构有限元模型
在板梁组合结构中，由于板结构的中性面和梁 根据结构表面上的法向振速分布函数 ˙w (r s )，
中性轴之间有一定距离，板单元和梁单元节点不重 由 格 林 函 数 方 法 可 以 建 立 辐 射 面 为 s 的 声 学
合。因此，梁单元需要进行偏心转换： Rayleigh积分方程：
∫ −jk|r−r s |
A 1 jωρ 0 e
∗
e = e, (8) p(r) = ˙ w (r s ) dS, (12)
A 1 + A 2 2π s |r − r s |