Page 40 - 《应用声学》2021年第6期

836 2021 年 11 月

′
求解式 (6) 可得到套管内的反射系数 A 用于 相速度明显降低。图3是地层弯曲波的频散曲线，与
1
n
计算套管内的声场，在柱坐标 (r, θ, z) 中，套管内声 裸眼井地层弯曲波的频散曲线相比，套管的存在使
场势函数ϕ n 在频率域中的表达式如下： 得频散曲线向高频移动，胶结良好与自由套管相比
频散曲线向高频偏移得更多，类似井眼半径缩小后
ϕ n (r, θ, z, ω)
∫ ( ) n 的频散曲线。
+∞ 1
= SR(ω) fr 0
n! 2
−∞
[ ′ ] 6000
1
× ε n K n (fr) + A (k z , ω)I n (fr)
n
ʼ᫽
× cos(nθ) e i(k z z−ωt) dk z , (7) 4500 ̄᫽
其中，n = 1 代表偶极源，ε n = 2；f 为井孔内流体的 ᤴए/(m·s -1 ) 3000
径向波数，r 0 为偶极距，k z 为轴向波数；第一类 n 阶
贝塞尔函数 I n 代表由井壁向井轴会聚的波，第二类
1500
n 阶变型贝塞尔函数 K n 代表向井外传播的波或发 ʷ᫽
散波，SR(ω) 为声源函数，在全波波形计算时选择 0
0 4 8 12 16 20
高斯源的谱函数。 f/kHz
式 (6) 中的系数矩阵 N 是频率和波数的函数， (a) ݓኮिజฉ
其行列式等于零时的方程 det(N(ω, k z ))，即为图 1 2000
模型中模式波的频散方程，求解此方程可得到套
管和地层弯曲模式波的频散曲线。模式波的相速 1600
度、衰减可由模式波极点所对应的波数 k z 得到，见 ඡ
式 (8)所示，激发强度见式(9)： ᤴए/(m·s -1 ) 1200 ඵ
ω −1 Im {k z (ω)}
v(ω) = , Q = 2 , (8) 800
Re {k z (ω)} Re {k z (ω)}
( d 11 d 21 )
u det N − σ rrf det N 400
f
E(ω) = . (9)
∂D/∂k 0 4 8 12 16 20
k=k l
f/kHz
2 偶极子声源在套管井中激发的模式波 (b) ʷ᫽ݓኮिజฉ
分析 图 2 自由套管井中套管弯曲波的频散曲线
Fig. 2 Dispersion curves of casing flexural waves
2.1 自由套管模型下井孔模式波的频散特征
in free pipe
与裸眼井情况相比，偶极子声源在套管井中激
发的声场更加复杂，在胶结不好的井段除了地层弯 2400
曲波还可记录到套管弯曲波，Schmitt [20] 也将其称 ᑛፇᓢݞ
为流体环弯曲模式。图 2(a) 显示了自由套管井 (套 2100 ᒭႀݓኮ
᜜ᅋ̌
管与地层之间完全充填泥浆) 中套管弯曲波的频散 1800
曲线 (实线是相速度，虚线是群速度，同一种颜色的 ᤴए/(m·s -1 )
曲线代表同一个模式)。在频段 0 ∼ 20 kHz 范围内 1500
套管弯曲波可存在 3 阶模态，现在的偶极子阵列声
1200
波中偶极子源的中心频率在 3 kHz 左右，一般可记
录到最低阶套管弯曲模式，二阶和三阶套管弯曲波 900 0 4 8 12 16 20
存在截止频率，截止频率与井眼直径和套管的横波 f/kHz
速度有关。图2(b)给出了套管外为自由边界时套管 图 3 自由套管井中地层弯曲波的频散曲线
一阶弯曲模式与套管外耦合泥浆时频散曲线的对 Fig. 3 Dispersion curves of formation flexural
比，可见套管外耦合泥浆与空气相比套管弯曲波的 waves in free pipe