Page 49 - 《应用声学》2021年第6期

第 40 卷 第 6 期 潘婷等： 经颅聚焦超声联合微泡开放血脑屏障的数值仿真研究 845

3 ˙
˙
1.1.2 含微泡血液中声传播方程 d dP g 2σR dP R R
0
[P s − P ∞ ] = + + − 4G
当微泡的体积分数较低且在流体中分布均匀、 dt dt ( R 2 dt R 4
)
¨
˙ 2
R R
初始半径相同时，在流体中的声速恒定的条件下，含 − 4µ − , (10)
R R 2
微泡流体中的波动方程为 [36−37]
)
2
1 ∂ P − ∇ P = d 2 ( 4π R N b , (2) 其中，σ 为表面张力，G是剪切模量 (或刚度)，µ为黏
1
2
3
2
¯ ρc ∂t 2 ¯ ρ dt 2 3 度。气泡内气体压强P g 为
l
其中，c l 为超声波在液体介质中的传播速度，R 为微 ( R 0 ) 3λ ( 2σ ) ( R 0 ) 3λ
P g = P g0 = P 0 + , (11)
泡瞬态半径。气液混合体的密度 ¯ρ为 R R 0 R
式(11)中，P 0 是液体静压强，气体多方指数λ = 1.4。
∼
¯ ρ = α l ρ l + α g ρ g = ρ l (1 − α g ) , (3)
1.3 声波参数计算式
其中，ρ l 为液体密度，ρ g 为气体密度，α l 为液体体积
机械指数MI为
分数。气体体积分数α g 为
P PRP (12)
3
α g = 4πR N b /3, (4) MI = √ f ,
或 式(12)中，P PRP 表示峰值负压，f 为频率。
3 功率谱密度PSD为
(R/R 0 )
α g 0
α g = { [ ]}, (5) 2
3 N−1
1− (R/R 0 ) ∑
1 − α g 0 1 −i2πf·k·δt
PSD (f) = s (k · δt) e , (13)
为气体初始体积分 N k=0
其中，R 0 为微泡初始半径，α g 0
数。单位体积内微气泡个数N b 为 其中，s (k · δt) 是脉冲回波接收器接收的声波时域
信号，δt 为采样时间间隔，k = 0, 1, 2, · · · , N，N 是
N b 0
N b = { [ ] }, (6) [41]
3 时域信号序列长度。相对功率谱密度RPSD 为
1 − (R/R 0 )
1 − α g 0
PSD w (f n )
为微泡初始密度。气液混合物中声波传播 RPSD (f n ) = , (14)
PSD w/o (f n )
其中，N b 0
方程为
式 (14) 中， PSD w (f n ) 为 有 微 泡 时 功 率 谱 密 度，
2
1 ∂ P 2
− ∇ P PSD w/o (f n ) 为相同的超声刺激参数处理下无微
2
c ∂t 2
l 泡时的功率谱密度。
2
¨
= ¯ρ4πRN b (1 − α g ) [RR + 2 (1 − 3α g ) R ], (7)
次谐波 (f/m，m = 2, 3, 4, · · · )、超谐波 (nf/2，
¨
其中，R 为气泡壁加速度，符号“ ·· ”表示二阶导数。 n = 3, 5, 7, · · · )和宽带噪声的发射强度为
l
1.2 气泡动力学方程 ∑
S i = ln (RPSD (f n )) · df n , (15)
keller-Miksis方程 [38−40] 为 k=1
( ) ( )
˙
˙
R 3 R 其中，ln 表示取自然对数；l 为离散信号频谱中各频
¨
˙ 2
1− RR + 1 − R
c 2 3c 带覆盖的点数。
( )
˙
R P s − P ∞ R d 1.4 数值仿真模型及参数
= 1 + + (P s − P ∞ ) , (8)
c ρ ρc dt
图 1 为由人体头颅 CT 数据、82 阵元相控换能
˙
式 (8) 中，R 为气泡壁的速度，符号 “ · ” 表示一阶导 器和血管构成的数值仿真模型。其中人体头颅 CT
数，P s 为气泡表面处的压强，P ∞ 为无穷远处的压 数据 (天津医科大学肿瘤医院提供) 为 62 岁女性健
强。P s − P ∞ 可表示为 康志愿者在 120 kV、135 mA、层间隔为 3 mm 和
2σ 像素为 1 mm 条件下的扫描数据；82 阵元相控换
P s − P ∞ = P g − − P 0 + P
R 能器开口直径为 100 mm、曲率半径为 80 mm；直
[ ( )]
3
3
4G(R − R ) R ˙ 径 d = 4 mm 的血管放置在换能器的几何焦点处；
0
− + 4µ , (9)
3R 3 R
E 1 和 E 2 为回波信号接收点，其坐标位置分别为