Page 149 - 《应用声学》2022年第1期

第 41 卷 第 1 期 戴宇翔等： 固体中线性相控阵列的瞬态聚焦特性 145

 2 2
∂ ϕ ∂ ϕ d a
 2 j x
 + + c ϕ = 0,
 2 2 p
∂x ∂z
(1)
2
2
 ∂ ψ ∂ ψ 2 θ θ j

 + + c ψ = 0, r j
s
∂x 2 ∂z 2
r f
其中，c p 和 c s 分别是纵波、横波的波速。假设阵元 j r
θ f r f
的激励函数为 f(t)，则声场的应力边界条件可以
↼r֒ θ↽
ཥག
表示为 ↼r f ֒ θ f↽
z

 f(t), |x| 6 a,
τ zz (x, z = 0, t) = 图 3 线性阵列相控阵声束聚焦的几何关系示意图

0, |x| > a,
Fig. 3 Geometric relationship of linear phased ar-
τ zx (x, z = 0, t) = 0. (2) ray for beam focusing
上述声场模型是一个经典的弹性波动力学问 假设声场中任意一点为(r, θ)，则r j 为第 j 个阵
j
题，可以采用角谱法进行求解。基于二维傅里叶变 元到该点的距离，r 为第 j 个阵元到该焦点的距离，
f
换，可以得到如下解析形式的势函数解： 这些参数间满足由如下几何关系式：
√
∫ ∫
1 +∞ +∞ 2 sin (ka) ( 2j − N − 1 ) 2
2
ϕ (x, z, t) = F (ω) r j = (r cos θ) + r sin θ − d ,
2π µk 2
−∞ −∞
2
k − 2k 2 2j − N − 1
s
× 2 r sin θ − d
4k αβ + (k − 2k ) θ j = arctan 2 ,
2
2
2
s
r cos θ
× exp [i (kx + αz − ωt)] dkdω, √
( ) 2
∫ +∞ ∫ +∞ j 2 2j − N − 1
1 2 sin (ka) r = (r f cos θ f ) + r f sin θ f − d .
ψ (x, z, t) = F (ω) f 2
2π µk
−∞ −∞ (6)
2kα
× 2
2
2
2
4k αβ + (k − 2k ) 如前所述，相控阵的各个阵元被短时脉冲激励
s
× exp [i (kx + βz − ωt)] dkdω, (3) 产生声波，通过控制各个阵元上的激励延迟即可实
现声束聚焦。显然，激励延迟取决于各个阵元到焦
√
2
2
其中：k p = ω/c p , k s = ω/c s , α = k − k ,
p 点的传播距离，此处选取第 1个阵元为参考阵元，为
√
2
2
β = k − k ，k 是 x 方向的波数，µ 是拉梅常数， 了实现相控阵的 P 波声束聚焦，则第 j 个阵元所需
s
F(ω) 是f(t)在频域内的形式。 的激励延迟可以表示为
最后，通过位移分量和势函数间满足的关系式 r 1 − r j
即可求得两个方向的质点位移表达式： τ j = f + T, (7)
c p
∂ϕ (x, z, t) ∂ψ (x, z, t) 其中，T 是一个时间常数，用于保证激励延迟为非负
u x (x, z, t) = − ,
∂x ∂z 数。显然，聚焦声场是各个阵元激励声场的贡献之
∂ϕ (x, z, t) ∂ψ (x, z, t)
u z (x, z, t) = + . (4) 和，其总位移可以通过矢量合成法则得到
∂z ∂x
{ [ N
为了便于分析声场指向性，可以将式 (4) 中的 ∑ ] 2
U f (r, θ, t) = u x (r j , θ j , t − τ j )
坐标位置改写为极坐标形式：
j=1
u x (r, θ, t) = u x (x, z, t) | x=r sin θ,z=r cos θ , [ N ] 2 } 1/2
∑
+ u z (r j , θ j , t − τ j ) . (8)
u z (r, θ, t) = u z (x, z, t) | x=r sin θ,z=r cos θ . (5)
j=1
1.2 阵列聚焦声场
2 声束聚焦特性分析
如图 3 所示，由 N 个单阵元组成的线性阵列相
控阵被放置于半无限固体介质表面，阵元宽度为2a， 本节中，通过数值模拟的方法分析阵列设计参
阵元间距为 d，聚焦点位置为 (r f , θ f )，其中 r f 为焦 数 (阵元间距 d、阵元宽度 2a) 对于声束聚焦性能的
距，θ f 为聚焦偏转角。 影响。通常情况下，当阵元数 N 不少于 16个即可确