Page 69 - 《应用声学》2022年第3期
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第 41 卷 第 3 期           季怡萍等: 基于压缩感知估计的 GIS 击穿放电定位方法研究                                       391


             结合式(4),当声源波动方向不在离散波达角度上时,阵列的接收信号 ˜ r[n]可表示为
                                                                                          
                                                                                   1
                                                                               (        )
                                                                                 2∆θ k    
                        K [
                        ∑                                           ]     r cos       · ρ 
                 ˜ r[n] =   ˜ a((l k − 1) · ∆θ) ˜ a((l k − 0.5) · ∆θ) ˜ a(l k · ∆θ) A −1   ∆θ    · ˜ s k [n] + ˜ n[n]
                                                                                          
                                                                                (        )
                       k=1                                                                
                                                                           r sin       · ρ
                                                                                 2∆θ k    
                                                                                   ∆θ
                        K [
                        ∑                                           ]
                                                                      ˜
                                                                                    f ˜
                     =      ˜ a((l k − 1) · ∆θ) ˜ a((l k − 0.5) · ∆θ) ˜ a(l k · ∆θ) b k [n] + ˜ n[n] = M · b[n] + ˜ n[n],  (5)
                       k=1
                       ˜
                                 ˜ 1
                                      ˜ 2
             式 (5) 中, b[n] = [b [n], b [n], · · · , b ˜ 6L+3 [n]] ∈  (2) 更新声波信号对应非零元素位置的集合
             C (6L+3)×1  表示了声源 DOA 的信息。从式 (5) 可以               Λ s = Λ s−1 ∪ i,更新用于估计声波信号 DOA 的列
                    ˜
                           ˜3l−2
                                             ˜3l
                                   ˜3l−1
             看出,在b[n] 中,b       [n]、b   [n] 和b [n] 三个元素        向量集合
             可表示DOA在范围[(l − 1) · ∆θ, l · ∆θ]内的声源信
                                                               X s =X s−1 ∪[ ˜ a(i · ∆θ) ˜ a(i · ∆θ − 0.5∆θ) ˜ a(i · ∆θ) ];
                                                               e
                                                                    e
             息,当3 个元素至少有一个不为零时,表明在角度范
             围[(l − 1) · ∆θ, l · ∆θ]内存在声源。                         (3) 采用最小二乘方法进行声波信号 DOA 信


                                                                           ˆ
                                                                           ˜


                 结合式 (5),阵列在观测时间 T 内的接收信号                      息的估计,即b s [n] = arg min 
˜ r[n] − X s ˜ c
;
                                                                                                 e
                                                                                       ˜ c
                                                                                                       ˆ
                                                                                                    e ˜
             R 可表示为                                                (4) 更新残余信号,即 ˜ q s [n] = ˜ r[n] − X s b s [n];
             e
                                                                   (5) 更新迭代步数,即s = s + 1。
                            R = M · B + N,              (6)
                                         f
                                     e
                                 f
                            e
                                                                                                      ˆ
                                                                                                      ˜
                                                                   这样,迭代 K 次后,可以获得估计量 b K [n] ∈
                                     ˜
                          ˜
                                          T
                              ˜
             式(6)中,B = [b[1], b[2], ..., b[N]] 。               C 3K×1 ,其中每 3 个元素用于估计一个声波信号的
                      e
                 下 面 针 对 式 (6) 中 的 R 进 行 处 理 以 估 计 B,          方向,即:
                                     e
                                                         e
             继而获得声源的 DOA 估计。从式 (6) 可以看出,                                             (    (   ˆ       ))
                                                                                              ˜
                                                               ˆ
             ˜                                                 θ k = Λ K (i)·∆θ +arctan real  b K [3k]   ∆θ  ,
             b[n](1 6 n 6 N) 中每 3 个元素构成一个元素块,且
                                                                                            ˆ             2ρ
                                                                                            ˜
                   ˜
             不同的b[n]非零元素块的位置相同;还可以看出,一                                                      b K [3k − 1]
                               ˜
             般情况下,当检测到b[n]中某个元素非零时,对应的                         估计出每个频率的声波信号 DOA,可通过平均等方
             元素块中的其余两个元素也是为零的,即只要检测                            法获取最终的声波信号DOA。
             出一个非零元素,就可以认为对应的角度范围存在
                                                               2 算法仿真分析
             声源。基于此,以及多测量矢量估计方法和极化内
             插方法,本文提出了基于极化内插的压缩感知DOA                           2.1  算法性能分析
             估计算法 CSP-DOA。算法的输入为传声器阵列接
                                                                   传声器阵元数目和阵元间距是影响角度估计
                                        ˜
             收信号 R,构造的测量矩阵 M,声波信号的个数
                    e
                                                               的性能的重要参数。通常情况下阵元数目越多、阵
             K (稀疏度),算法的输出为估计出声波信号 DOA,
                                                               元间距越小,角度估计的准确性会更好,但是考虑整
             CSP-DOA算法的实现流程如下所示。
                                                               个系统的计算性能及系统成本,需要平衡好阵元数
                 初始化:算法的迭代步数 s = 0,声波信号
                                                               目、阵元间距与计算精度之前的关系,因此,对于一
             对应非零元素位置的集合 Λ 0 = [ ],用于估计声
                                                               种定位方法,其在不同阵元间距、阵元数目的性能
             波信号 DOA 的列向量集合 X 0 = [ ],残余信号
                                       e
                                                               需要重点关注。设置阵列孔径为 1 m,阵元数量为
             ˜ q 0 [n] = ˜ r[n]。
                                                               16、8 以及 4,对应的阵元间距分别半波长、2 倍半波
                 在第s次迭代中,算法步骤为:
                                                               长以及 4 倍半波长。图 1 给出了 MUSIC、CS-DOA、
                 (1) 通过匹配滤波与非相参积累,找出测量矩
                                                               CSP-DOA 三种算法在不同阵元间距下的估计性
             阵M 中对应声波信号DOA的列号,即
               f
                                                               能,可以看出,由于半波长布置阵元满足空间奈奎斯
                               N
                              ∑                              特采样定律且阵元数目最多,该场景下的估计性能
                                          H
                   i = arg max     ˜ a(l · ∆θ) ˜ q s−1 [n] ;

                            l                                  最优;2倍半波长或4倍半波长布置阵列会造成空间
                              n=1
   64   65   66   67   68   69   70   71   72   73   74