Page 145 - 《应用声学》2025年第3期

第 44 卷 第 3 期 刘齐乐等： 水下声源指向性调控结构优化设计与仿真 679

材料。在仿真中，将这种硅橡胶材料的密度设置为 的平方，并对空间角积分，计算结果为无量纲的数
3
ρ s = 1000 kg/m ，纵波声速设置为c s = 1000 m/s。 值。其表达式为
2
(|D(θ, φ)| ) θ=0
1.2 硅橡胶结构的拓扑优化方法 Dir = ∫ 2π ∫ π . (4)
1 2
变密度法是连续体结构拓扑优化方法的一种， 4π 0 0 |D(θ, φ)| sin θdθdφ
其本质是使用一个控制变量来描述设计域内离散 由于仿真模型是轴对称的，式 (4) 可进一步
单元上的相对密度，再通过插值函数将控制变量与 简化为
材料属性参数联系起来，因此允许控制变量取 0 和 2
Dir = (|D(θ)| ) θ=0
∫
1 的中间值，也使得优化过程中可以利用梯度信息。 1 π 2
2π |D(θ)| sin θdθ
在设定好目标函数与约束后，通过优化算法更新迭 4π 0
2
代控制变量的值来对设计域内材料分布进行优化。 2(|D(θ)| ) θ=0
π
= ∫ . (5)
本文采用材料性质合理近似的插值方法 [13] 对 |D(θ)| sin θdθ
2
设计域中材料的声速进行插值，该区域中材料声速 0
理想条件下的点源为全指向性，其指向性因子
c定义为
为1，指向性因子越大代表波束越尖锐，因此将拓扑
η
c = c b + (c s − c b ), (1) 优化的目标设定为最大化点源与硅橡胶结构共同
1 + q(1 − η)
作用下的指向性因子。
其中，η 为拓扑优化的控制变量，当 η = 0 时相应的
最终，整个拓扑优化问题可描述为
材料为水，当 η = 1 时相应的材料为硅橡胶；q 为惩 
2
2(|D(θ)| ) θ=0

罚因子，根据文献[13]，本文取q = (c s − c b )/c b ，以保  π ,
max Dir = ∫

 2
 |D(θ)| sin θdθ
证插值函数为凹函数且避免删除过多的中间单元。
0 (6)
同时，为避免出现棋盘格现象，使用亥姆霍兹过滤器  ∫∫


 subject to ηdΩ 6 V d , 0 6 η 6 1,

对控制变量进行过滤 [14] ：  Ω d
其中，V d 为设计域的体积。使用软件内置的优化求
2
2
η f = η + R min ∇ η f , (2)
解器，并选择基于梯度的全局移动渐近线法进行求
式(2)中，η f 为经过滤波后的控制变量；R min 为滤波 解。仿真时将控制变量的初始值设为0，在优化过程
器的过滤半径，本文中过滤半径大小来自网格。对 中，部分区域的控制变量将随着优化进程逐渐发展
于过滤后出现的实际中不可实现的灰色区域，再进 为 1，声场也相应地从点源声场逐渐过渡到点源与
行双曲正切投影，该投影处理的表达式为 硅橡胶结构共同作用的声场。
tanh(β(η f − η β )) + tanh(βη β )
η p = , (3) 1.3 拓扑优化仿真结果
tanh(β(1 − η β )) + tanh(βη β )
在上述条件下，优化程序经过 360 次迭代后目
式 (3) 中，β 为投影斜率，η β 为投影点，本文中取
标函数大小不再发生变化，认为此时得到了该问题
β = 8、η β = 0.5。
的最优结果。优化结果如图 3 所示，设计区域中的
接下来为确定优化问题的目标，仿真时首先
白色部分代表硅橡胶，黑色部分代表水。
取距模型中心 3 m 处的声压计算趋于无穷远时的
尽管在绝大部分区域内，控制变量的值都趋近
外场声压，根据得到的外场声压计算指向性函数
0 或1，在硅橡胶与水的分界处仍不可避免地存在中
D(θ, φ)，其中 θ 和 φ 分别为球坐标系下的仰角和方
间值。对此，再使用过滤器对这些中间值进行过滤。
(p a ) θ,φ
位角，如图 2 所示；D(θ, φ) = 。根据指向性 图4给出了最终得到的硅橡胶结构示意图。
(p a ) θ=0
函数的表达式，将分子分母同时平方可得到指向性 对这种结构与点源共同作用时的声场重新仿
因数。指向性函数和指向性因数均为角度的函数， 真并进行外场计算，得到的外场指向性计算结果如
不能直接作为优化的目标函数值。为此，本文采用 图 5 所示。优化后的指向性 −3 dB 波束开角约为
指向性因子描述指向性能，其定义为 θ = 0 时指向 20.44 。可以看出，在这种硅橡胶结构的作用下，原
◦
性函数的平方除以空间中其他角度上指向性函数 本无指向性的点源体现出了较高的指向性。