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第 37 卷 第 5 期 袁月等： 声波在含气泡液体中传播特性及产热效应 719

3
2.2 声波在含气泡液体中传播产热效应 其中，χ = 4πR N/3 表示液体中的孔隙率。从该式
0
当入射平面波 p = p a e −i(ω 0 t−k 0 ·r) 在液体中传 中我们可以看出，声波在液体中不被吸收，但是此时
播时，声波在单位时间单位体积内的平均声能量密 声波在含气泡液体中的波速比液体中无气泡时稍
2
度表示为 低一些。当χ ≪ p 0 /ρ l c ≈ 4.4 × 10 −5 时，液体中气
l
p 2 a 泡不影响声波的传播，而当液体的孔隙率较大时，液
ε = 2 , (10)
2ρ 0 c 体表面对声波的反射作用会变大，此时气泡的存在
0
而入射声波在含气泡液体中传播时，由式 (8) 可知， 会对声波的传播有较大的影响。在共振频率附近，
此时波数 k 为复数，考虑到声波衰减，平均声能量密 即ω ≈ ω 0 ，式(8)可以表示为
度由式(10)可推广表示为 ω √ χ
k ≈ 1 + i , (18)
2 c l χ 0
|p|
ε = . (11) √
3 3/2
2ρ 0 c 2 其中，χ 0 = 3p 0 [4ηc l + σ)/3R 0 + p 0 ]/c ρ 。在该
0 l l
假设声波在含气泡液体中传播时，衰减的能量 情况下，当 χ = 4πR N/3 ≪ χ 0 ，k ≈ ω/c l ，气泡对
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0
全部转化为热能，则声波在传播 ∆x 距离之后，单位 声传播的影响可以忽略。但是在通常情况下，如果
时间内耗散产热为 χ ≫ χ 0 ，此时
( 2 ) √
2
|p| (x + ∆x)−|p| (∆x) ω χ (19)
Q k =∆S×v× 2 , (12) k ≈ (1 + i),
2ρ 0 c c l 2χ 0
0
其中，∆S 是声波入射截面积，v 是声波在液体中的 表示液体对声波的吸收作用很强，同时 Re(k) ≫
传播速度。式 (12) 经一系列简单的变换后，得到单 ω/c l ，代表声波在液体表面的反射也很强，因此在该
位体积的产热功率为 情况下，声波在含气泡液体中的传播特性与液体中
2 无气泡时声波的传播特性有很大差异，群速度和相
Im (k) × 2 × |p| × v
Q k = 2 , (13) 速度在含气泡液体中是相等的，是无气泡液体中波
2ρ 0 c
0 √
速的 2χ 0 /χ倍。当ω 0 ≪ ω ≪ c l /δ ≈ 5.3×10 11 Hz
将其进一步简化为单位体积单位时间的产热量与
时，式(8)简化为
单位体积平均声能密度的比值，即
Q k k ≈ ω/c l , (20)
= 2 × Im (k) × v. (14)
ε
此时由于频率远远高于气泡的共振频率，气泡振动
气泡在声波的作用下径向振动，此时气泡壁的
在该频率作用下响应较弱，所以气泡在高频段对声
粘滞振动也会产热，单位体积内的产热功率为
波的传播无影响。但是，当 ω ≫ 5.3 × 10 11 Hz 时，
⟨ 2 ⟩
R R 0 ,
Q η = N × 16π × η × ˙ (15)
t 液体对声波的吸收作用增强，式(8)简化为
其中，η 代表液体的切变粘滞系数。将式 (5) 最终得 3/2 √
k ≈ (ω/c l ) δ/2(1 + i), (21)
到的 R 结果代入到式 (15) 中，并进一步简化为单位
体积单位时间的产热量与单位体积平均声能密度 此时声波的群速度和相速度满足 υ g ≈ 2υ p /3，相速
√
的比值，即 度υ p ≈ c l 2c i /ωδ，随着频率的增加逐渐减小。
从上述简单的分析中，我们得知，声波在含气
2
Q η N × 16π × η × ω × R 0
= . (16) 泡液体中传播时，只有当声信号频率接近气泡的共
2
ε (ω − ω ) + ω a
2
2
2 2
0
振频率时，声波的传播特性会因气泡的存在而发生
3 结果分析与讨论 显著变化。
为了得到更准确的结果，对式 (8) 进行数值
3.1 声信号在含气泡液体中传播特性分析
分析，设气泡半径为 100 µm，气泡粒子数密度为
首先我们进行一些简单的分析。当ω ≪ ω 0 ，公 1 × 10 m −3 ，式中各项参数 c l 、ρ l 、η、σ、δ 的值与
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式(8)简化为 水中是相同的。由此我们得到了 Im(k) 随频率变
√ √
ω 4πNR 0 c 2 ω ρ l c 2 l 化的结果，如图 1 所示。由图中低频段放大图可以
l
k ≈ 1 + 2 ≈ 1 + χ, (17)
c l ω c l p 0 看出 Im(k) 在频率远远小于气泡共振频率的频段
0