Page 136 - 201805

718 2018 年 9 月

3 ( M ) ˙ 2
¨
1 引言 (1 − M)RR + 2 1 − 3 R
p l − p t R
= (1 + M) + ˙ p l , (3)
当声波在含气泡液体中传播时，由于气泡的存 ρ l ρ l
在，会对声波的传播特性有很大影响，相关实验已 式(3)中，M ≡ R/c l 代表气泡的马赫数，t R ≡ R/c l ，
˙
经开展 [1] 。实验结果表明声波在含气泡液体中传播 p l = p g (R, t) − 4ηR/R − 2σ/R 表示在气泡壁外侧
˙
时，当气泡半径不太小 (一般超过 10 µm)，且其数 液体中的声压，p g (R, t)是气泡壁内侧即气泡内部气
密度超过1/mm 时，会在频谱的低频段出现频率带 µRT
3
¯
隙，意味着该频段内的声波在含气泡液体中传播受 体的声压，值为 p g = V − b + p v ，其中 µ 是气体的
¯
到抑制。理论方面，Keller–Miksis 方程能够很好地 摩尔数，R 是气体常数，V 是气泡体积，b 是范德瓦
描述气泡在声波驱动下径向振动规律 [2−3] ，而由于 尔斯气体硬核体积，p v 是周围液体的蒸气压。η 代
气泡振动辐射声波，反过来又影响液体中的声场。 表液体的切变粘滞系数，σ 是液体的表面张力系数。
1973年，Zabolotskaya 等 [4] 研究了气泡的谐波和混 设入射平面波为
频声辐射现象，提出了考虑气泡辐射作用的声波方
p = p 0 + p a e −i(ωt−k·r) , (4)
程。气泡的存在往往会对超声的热效应起到增强的
作用，在医疗中，当组织内的蛋白质受到超过某一临 其中，p 0 = 1 atm，p a 是声压幅值。气泡在声波的驱
界值的热量时会发生变性坏死现象 [5] ，所以关于含 动下径向振动，在线性响应情况下，气泡的径向振动

气泡液体中声波的产热机理及产热效应的研究有 可以表示为
很重要的意义。因此，本文对含气泡液体中声波传
R = R 0 + ξ, (5)
播特性进行了研究，分析了声波在含气泡液体中的
发热机理并对不同发热机制的产热效应进行了对 其中，R 0 是没有声压驱动情况下气泡的半径，ξ 是
比分析。 气泡在声波作用下半径的变化量。将 p 和 R 代入公
式 (3)中得到气泡线性振动的表达式
2 理论模型
¨ ˙ 2 p a e −i(ωt−k·r) (6)
ξ + aξ + ω ξ = − ,
0
2.1 声信号在含气泡液体中传播特性 R 0 ρ l + 4η/c l
其中，a = [4(ηc l + σ)/R 0 + 3p 0 ]/(R 0 ρ l c l + 4η)，
当超声在含气泡液体中传播时，假设液体中所
有气泡具有统一的初始半径，同时气泡的粒子数密 ω 0 = [(4σ/R 0 + 3p 0 )/(R 0 ρ l + 4η/c l )/R 0 ] 1/2 表示气
泡的共振角频率。设 ξ = ξ 0 e −i(ωt−k·r) ，代入式 (4)
度保持不变，则含气泡液体中的声波方程为 [4]
中得到
2
1 ∂ p
2 ˙ 2 2 ¨
∇ p − 2 = −4πρ l N(2RR + R R), (1)
c ∂t 2 p a
l ξ 0 = 2 , (7)
2
式 (1) 中，c l 是声波在液体中传播的速度，ρ l 是液体 (R 0 ρ l + 4η/c l )(ω − ω + iaω)
0
的密度，N 是气泡的粒子数密度，R 是气泡的半径， 由此 R 的表达式已知，将其代入式 (2)，得到关于声
2
2
˙
¨
R 和R 分别是 R 对时间的一阶导数和二阶导数。考 压的表达式∇ p a = −k p a ，其中，
虑到声波在液体中传播时，液体对声波的吸收效应 ω 2 [ iωδ 4πNR 0 c /(1 + 4η/R 0 ρ l c l ) ]
2
2
k = 1 + − l ,
2
之后，式(1)变为 c 2 ω − ω + iaω
2
l c l 0
2
3
1 ∂ p δ ∂ p (8)
2
∇ p − +
3
2
c ∂t 2 c ∂t 3
l l k 的实部即 Re(k) 代表声波传播，而 k 的虚部 Im(k)
2 ¨
˙ 2
= − 4πρ l N(2RR + R R), (2) 代表含气泡液体对声波的吸收系数。根据群速度、
2
2
式 (2) 中，δ = 2c α/ω ，α 是液体的吸收系数， 相速度与k 和ω 的关系
l
2
ω
在 水 中 满 足 关 系 式 α/ω 2 ≈ 6.3 × 10 −16 s /m， ( dω ) ( )
υ g = Re , υ p = Re , (9)
[6]
δ ≈ 2.8 × 10 −9 m 。根据Keller–Miksis方程，气泡 dk k
的径向振动可以描述为 [3] 即可求解得到群速度和相速度。