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第 37 卷 第 5 期 王莎等： 基于二维声子晶体结构的大尺寸超声塑料焊接系统 813

1 (10)
ε z = [σ z − v(σ r + σ θ )], (6) k r aJ 0 (k r a) − (1 − v) J 1 (k r a) = 0,
E
其中，E 和v 分别为材料的弹性模量及泊松系数。在 式 (9) 是长为 2l 的细杆纵振动的频率方程，式 (10)
是半径为 a 的薄圆盘径向振动的频率方程。由于
准静态情况下，σ r = σ θ ，由式(4)∼式(6)可得
考虑了纵向振动与径向振动之间的耦合，式 (9)
E z = E/(1 − 2v/n), (7) 及式 (10) 中的波数 k r 及 k z 与振动体的几何尺寸
2
E r = E/[1 − v − nv(1 + v)], (8) 有关，并非常数。其中，k z = ω/C z ，k r = ω/C r ，
1/2 1/2
C z = (E z /ρ) ，C r = (E r /ρ) 。这里k z 、k r 及C z 、
其中，n = σ z /σ r ，称为振动体内纵向振动与径向振
C r 分别表示等效的纵向及径向振动的波数及声速，
动之间的耦合系数；E z = σ z /ε z 、E r = σ r /ε r 分别
ω 为角频率 ρ 为密度，J 0 及 J 1 分别为零阶及一阶贝
称为振动体在 z 及 r 方向的等效弹性系数。圆柱体
塞尔函数。由式(9)、式(10)可得
的轴对称耦合振动可以看成由两个分振动组成：一
个是细圆柱的纯纵向振动，另一个是薄圆盘的纯径 2k z l = iπ i = 1, 2, 3, · · · , (11)
向振动。这两个振动通过耦合系数 n 相互作用，并 k r a = R (j) j = 1, 2, 3, · · · , (12)
非相互独立，n 的大小决定了二者之间的耦合程度
其中，i、j 为正整数，与圆柱体的各个振动模式相对
及相互关系。在此基础上，可得两端自由圆柱体耦
应。R(j) 为方程 (7) 的第 j 个根，它是泊松系数 v 的
合振动的频率方程：
函数。根据上述各式可得出决定圆柱体耦合振动的
sin(2k z l) = 0, (9) 耦合系数及共振频率的方程式：

[ ]
( ) 2 2 ( ) 2 2
( 2 ) 2 2 1 4R (j) l 4R (j)
v+v n − 1−v − n − 2v = 0, (13)
2
2
a i π 2 a i π 2
2
2
2
2
R (j) i π 2 2 [ R (j) ( 2 ) i π 2 ] 3 2
Ω − + 1 − v Ω − 2v − 3v + 1 = 0, (14)
2 2
4l a a 2 4l 2
2
其中，Ω = C /ω ，C = E/ρ，C 为细长杆中一维 建立基于二维声子晶体结构的圆柱形工具头
2
2
纵振动的传播速度。圆柱体耦合振动的耦合系数 模型，如图 3 所示。该工具头的半径为 48 mm，高度
及其共振频率不仅决定于振动体的几何尺寸，而且 为 120 mm，在工具头上共加工 6 个槽，开槽高度为
与振动模式有关。频率方程式(14)确定了振动体的 80 mm，宽15 mm，深10 mm，每个槽间圆心角间隔
材料、几何尺寸及振动模式三者之间的依赖关系。 为 60 。采用有限元法计算声子晶体的频率响应曲
◦
另外，当振动体的几何尺寸及振动模式一定时，由 线，利用 Comsol Multiphysics 的固体力学模块，在
2
式 (13) 可得两个耦合系数，一个大于零，另一个小 圆柱形开槽工具头的一端处施加大小为 1 m/s 、方
于零。耦合系数大于零时，圆柱体的纵向与径向振 向沿 x 轴的加速度，在另一端处添加探针，通过计
动为同相振动；耦合系数小于零时，纵向与径向振动 算探针处的加速度幅值得到加速度频率响应的曲
为反相振动。 线，此时得到的带隙为沿着 x 轴方向 (半径方向) 的
带隙，如图4所示。

3 基于二维声子晶体结构的圆柱形超声波 通过图 4 可知，基于二维声子晶体结构的圆柱
塑料焊接工具头的带隙分析 形工具头存在带隙，其中在 20 kHz∼23 kHz 附近处
带隙较为明显。结合实际应用，我们将超声塑料焊
对于横向尺寸大于四分之一波长的大尺寸工 接系统的工作频率设计在20 kHz 左右，刚好在基于
具头，由于耦合振动，圆柱的纵向辐射面的振动位移 二维声子晶体结构的圆柱形工具头的横向带隙范
出现不均匀，因此需要对径向振动进行抑制。采用 围内，利用这一方向带隙，对横向振动进行抑制，从
在圆柱体上开槽的方式，形成二维声子晶体，可以通 而增强纵向振动并使得其在工作频率时振动模态
过设计其带隙，从而达到抑制横向振动的目的。 更加的单一。