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850 2018 年 11 月

上提出了在多个正交方向同时衰减的多轴完全匹
1 引言
配层(Multi-axial perfectly matched layer, MPML)
自从1968年Alterman等 [1] 首次将有限差分方 边界条件，并通过特征值灵敏度分析方法证明，
MPML 的稳定性与不同方向衰减因子的比例系数
法 (Finite difference method, FDM) 应用于层状介
有关 (PML 情形下该系数为零，因而不稳定)。通过
质的弹性波动方程求解问题以来，FDM已经成功地
调整该比例系数，系数矩阵特征值的实部向负半轴
发展成为应用最为广泛的波动方程正演模拟数值
方法之一，并在复杂非均匀介质波场模拟领域发挥 移动，从而满足渐进稳定性条件，达到改善 MPML
稳定性的目的。借鉴该思路，本文将 MPML应用于
着越来越重要的作用。有限差分法计算效率较高，
含液-固界面弹性介质模型的正演模拟，以解决在具
易于编程和并行运算，并且能够很好地处理各种强
有液 -固界面的弹性介质模型中数值模拟不稳定的
不均匀介质问题，是声场模拟的一种快速而精确的
问题。在数值模拟阶段，分别在具有弹性海底的海
数值方法。
洋环境模型和充填液体的井孔模型中进行弹性波
在波场数值模拟中由于计算区域是有限的，为
方程的正演模拟，不失一般性，这两种情况下对应
了压制截断边界造成的人工边界反射，通常采用完
全匹配层 (Perfectly matched layer, PML) 作为吸 的液 -固界面形状分别为水平层状和圆管状。两个
收边界条件。PML 方法由 Berenger [2] 在 1994 年最 算例均得到了有效的模拟结果，验证了MPML在含
先提出，后来又经过很多学者的改进，已经在波场 液 - 固界面弹性介质中数值模拟的有效性、稳定性
数值模拟领域得到了十分成功的应用。该方法的基 和普遍适用性。
本思想是在研究区域的边界上加上一个吸收层，使
2 计算模型和计算方法
边界上传入吸收层的波随传播距离的增加呈指数
衰减，不产生反射，以此来达到消除边界反射的目 在交错网格中，借助空间四阶、时间二阶精度
的 [3] 。相比其他的边界条件，如指数衰减吸收边界 的有限差分算子对具有一阶速度 -应力形式的弹性
条件 [4] 、旁轴近似吸收边界条件 [5] 、廖氏吸收边界 波方程进行求解。同时，由于计算区域是有限的，在
条件 [6] 、Higdon 吸收边界条件 [7] ，PML 边界条件具 波场模拟中采用MPML作为吸收边界条件，以压制
有最佳的吸收特性。 截断边界造成的人工反射，同时能够保证长时间数
有研究指出，当应用于弹性波或者各向异性波 值模拟的稳定性。
动方程时，由于介质的非均匀性以及自由边界条件
2.1 波动方程及其有限差分
的施加，PML 边界条件容易面临稳定性方面的问
在直角坐标系中，一阶速度 -应力形式的二维
题 [8] 。在具有液 -固界面的弹性介质模型 (比如，具
弹性波方程如下所示：
有弹性海底的海洋环境模型以及充填液体的井孔

模型等) 中进行弹性波方程的正演模拟时，也发现  ∂τ xx = (λ + 2µ) ∂v x + λ ∂v z ,

 ∂t
 ∂x ∂z
了此类问题：随着有限差分迭代次数的增加，在液体 


 ∂v x ∂v z
∂τ zz
与固体的分界面处产生了异常值，该异常值随着时  = λ + (λ + 2µ) ,


 ∂t ∂x ∂z

间的推移不断增长，而且从 PML 边界处向内部区  ( )


∂τ xz ∂v z ∂v x
域逐渐扩散，损害了内部区域的有效波场，最终造成  ∂t = µ ∂x + ∂z , (1)

数值模拟的失败。  ( )

 ∂v x
 ∂τ xx ∂τ xz
 = b x + ,
传统的 PML 吸收边界条件只能较好地衰减垂  ∂x ∂z
 ∂t


 ( )
直边界方向入射的波，在掠射情况下边界反射吸收  ∂τ xz ∂τ zz

∂v z
 + ,
 = b z
效果不佳，随着迭代误差的累积，出现指数增长解 ∂t ∂x ∂z
而导致数值计算的不稳定。Meza-Fajardo 等 [9] 通 其中，v x 、v z 为x 和z 方向的速度，τ xx 、τ zz 为正应力，
过求解 PML 方程系数矩阵的特征值 (有多重零根)， τ xz 为剪应力，λ、µ为拉梅系数，b x 、b z 表示密度的倒
验证了传统的 PML 不满足严格的渐近稳定性，因 数。采用空间四阶、时间二阶精度的交错网格有限
而在数值模拟时容易出现不稳定的问题。在此基础 差分方法对方程(1)进行求解，对应的离散格式为