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第 37 卷 第 6 期 刘泽等： 充水黏弹性管道的频散曲线计算分析 869

法向应力和剪切应力为 式(11)中，SS、T T 的阶数和LL阶数是相等的。
 ( ω 2 ) 在形成广义特征值问题时，必须建立各介质交
σ rr = 2µ∂ − λ Φ − 2µ∂ r Ψ,
 2 ˆ
 r 2
 V 界面连续条件和表面应力条件。矩阵 LL 的表面边
 p

 ( )
 1 1 ω 2
3 2 界条件行索引与频率无关，交界面的行索引由应力
ˆ σ rz =−2µ ∂ + ∂ − ∂ r + ∂ r Φ (5)
r r 2 2
 r r V p
 和位移连续条件替换，同时引进单位矩阵，整理为

 ( 2 )
 2 2 ω
 2 2
 ˆ LLΘ = k MΘ。每个矩阵 LL、SS 和 T T 通过除
d
 + µ 2∂ + ∂ r − + Ψ,
r 2 2 z
r r V
s 以各自绝对值最大元素进行归一化。对于一个N 层
式(5)中，ˆσ rz = ik z σ rz 。
系统，重要的是第 I 和I + 1层交界面，对应为 N i 和
对于理想流体介质，水中位移势函数 Φ f 表示
N i+1 间断点。为了计算要进入边界条件的矩阵元
纵波 V f 的Helmholtz等式 [2] ：
素索引，必须知道前I 层的总间断点NA i−1 ，计算公
( )
1 ω 2 2 i−1
2
∂ + ∂ r + Φ f = k Φ f . (6) ∑
r 2 z 式为NA i−1 = N j 。
r V
f
j=1
| {z }
如果某层为流体，则间断点为 N j ；如果某层为
L V f
径向位移和轴向位移为 固体，则间断点为 2N j ，确定每交界面的前 NA i−1
 点，就可以设置任何固体和流体交界面处的边界条
u rf = ∂ r Φ f ,

 件 [2] 。
2
ˆ u rz = −k Φ f . (7)
z
 对于流体和流体交界层，需要满足法向应力和
 |{z}

L V f
径向位移连续条件。引入的行索引为
法向应力为
ω 2 σ rr | i,i+1 : NA i−1 + N i , (12)
σ rrf = −λ f 2 Φ f . (8)
V u r | : NA i−1 + N i + 1.
f i,i+1
由微分矩阵将圆柱管和水的Helmholtz等式中 对于流体和固体交界层，除需要满足法向应力
的微分算子离散，得到微分矩阵化为一系列的线性 和径向位移连续条件外，流体中的剪切应力也会消
方程组 [8] ： 失。引入的行索引为
 ω 2
(
2
 = D + diag r −1 ) D r + I,
L V f r σ rr | : NA i−1 + N i ,
 2 i,i+1
 V
 f


 2 u r | : NA i−1 + N i + 1, (13)
( −1 ) ω i,i+1
2
= D + diag r D r + I,
L V p r 2
 V σ rz | u : NA i−1 + N i + N i+1 + 1.
 p

 2
 ω
 ( ) ( )
2
 = D + diag r −1 D r − diag r −2 + I. 对于固体和流体交界层，同样的交界面条件，
r 2
L V s
V s
(9) 但行索引转变为
2
组成矩阵形式LLΘ = k Θ： σ rr | i,i+1 : NA i−1 + N i ,
z
      (14)
u r | : NA i−1 + N i + 1,
 0      i,i+1


L V f 0  Φ f Φ f
   
     
2 σ rz | u : NA i−1 + 2N i + 1.
0 · Φ = k · Φ . (10)
0 L V p z
     
      对于固体和固体交界层，需要满足法向应力、剪
     
Ψ
Ψ
 0 0 L V s   ˆ   ˆ 
切应力、轴向位移及径向位移连续条件。行索引为
| {z } | {z }
LL Θ
圆柱管和水的应力及位移分量的微分矩阵 σ rr | i,i+1 : NA i−1 + N i ,
表示为 u r | : NA i−1 + 2N i ,
i,i+1
        (15)
        σ rz | u : NA i−1 + 2N i + N i+1 + 1,
   

Φ f
u rf
σ rrf
   Φ f
       
σ rr = SS · Φ , u r = T T · Φ , u z | i,i+1 : NA i−1 + 2N i + 1.
       
       
       
Ψ
Ψ
   ˆ     ˆ  研究两层介质充水黏弹性管道，考虑的是固体
σ rz u z
(11) 和流体交界层，将应力 SS 和位移 T T 矩阵中交界