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黏弹性管道的频散特性和衰减特性，比较充水前后
1 引言
黏弹性圆柱管频散曲线的差异，分析水在黏弹性管
黏弹性材料由于自身特殊的性质，被广泛地应 道中对轴对称纵向导波传播和衰减的影响。
用在各种减振降噪结构中，其中黏弹性圆柱管道是
2 理论计算
最常用的形式。例如用于工业生活中的聚氯乙烯材
料的输水管道、气流或液流管隔振的橡胶接管等。 利用谱方法基于 Chebyshev 多项式作为插值
无论是减振还是吸声方面，其基本特性都是依赖于 基函数数值求解管道中波传播的本征方程问题，由
导波在黏弹性圆柱管中的传播特性，包括相速度和 正交函数展开未知函数，微分算子被离散为微分矩
衰减特性。对于弹性圆柱管中导波传播已经有大量 阵，从而偏微分方程转化为一系列线性方程组，通过
文献研究，而对于充液黏弹性管道，现有文献中很少 对方程组的本征值问题的求解，得出该方程的本征
讨论过厚的黏弹性管道。管道导波介质中波传播频 值及本征向量。
散曲线和衰减曲线是进行波传播特性研究的基础， 针对 Chebyshev多项式插值，插值节点 x i 用于
在超声无损检测、管路消声及检漏工程等领域具有 [−1, 1] 标准区间，在实际问题中，如果区间是 [a, b]，
重要应用价值。 将区间 [−1, 1] 转化，在此区间由变量x i 对插值点转
波传播理论中的频散曲线和衰减曲线计算过 换，得
程含有 Bessel 函数，一般传统求解是利用数值计算  − (b − a) x i + (b + a)
r i = ,

频散方程复数根，复杂边界条件形成的超越频散方  2
( ) m
程根的搜索会带来大量计算，需要在二维复平面上  m 2 m

 D
r = − D ,
x
搜根，求解程序精度不高并容易出现丢根现象。谱 b − a
方法是 20 世纪 70 年代迅速发展起来的一种数值求 ˆ u = ∇ · Φ + ∇ × Ψ, (1)
解偏微分方程的方法，是通过谱函数(Chebyshev多 式(1)中：r 为半径，D 为Chebyshev矩阵，m为阶次
项式函数) 数值插值求解微分方程，将微分算子离 项， ˆ u 为位移，∇ 为拉普拉斯算子，Φ 为管道位移势
散为微分矩阵。该方法计算精度高、速度快，收敛性 函数，Ψ 为管道位移矢函数。管道中波传播的纵波
具有无穷阶的特性，已经在流体力学中得到广泛应 速度V p 和横波速度V s 的Helmholtz等式 [8] 为
( )
用，发展成为一种标准计算工具。近年来在声学无 1 ω 2
2
2

 ∂ + ∂ r + Φ = k Φ,

r
z
损检测领域越来越被重视，成为继有限元法和有限  r V p 2



| {z }
差分法之后又一重要、快速、精确的数值算法，尤其  L V p
( 2 ) (2)
运用在多层介质、有阻尼、多孔材料等结构的波传  2 1 1 ω 2

 ∂ + ∂ r −
z
 r r r 2 + V 2 Ψ = k Ψ.

播特性分析中优势更加明显。Adamou 等 [1] 采用谱  s

| {z }

方法计算二维弹性介质中的频散方程；Karpfinger L V s
等 [2−3] 利用谱方法求解圆柱结构为均匀介质时的 纵波速度 V p 和横波速度 V s 是由弹性模量 E 和
泊松比v 以及密度ρ推出：
频散曲线；Quintanilla等 [4] 运用谱方法计算了多层
各向异性介质中的弹性波频散曲线；于保华等 [5] 在 V = E (1 − v) ,
2
p
高温圆管轴对称导波的频散关系计算中运用谱方 (1 + v) (1 − 2v) ρ (3)
E
2
法；王献忠等 [6] 利用谱方法计算有阻尼负载的圆柱 V = .
s
2 (1 + v) ρ
壳频散关系；何世平等 [7] 利用传统复根搜索计算了
径向位移和轴向位移为
无限长黏弹性管道中导波的传播模式；郭杨阳等 [8]
ˆ
u r = ∂ r Φ − Ψ,
利用谱方法计算波导中弹性波频散曲线；刘增华 ( 1 )
ˆ
2
等 [9] 利用传统搜根法研究带黏弹性包覆层充液弹 ˆ u z = −k Φ + ∂ r + Ψ, (4)
z
|{z} r
性管道中的超声导波纵向模态。 L V p
ˆ
本文在柱坐标系下将谱方法扩展到求解充水 式(4)中：k z 为轴向波数，Ψ = ik z Ψ, ˆ u z = ik z u z ，由
黏弹性管道结构的频散问题，计算未充水和充水后 广义胡克定律推出应力和位移关系。