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可以将A(α)分为奇数项部分和偶数项部分，即 以忽略。这样可以定义整数 N，使得当 n > N 时，
A (α) = A o (α) + A e (α)，其中 式 (2) 中的 a n 可以忽略。根据前面的分析，显然为
了尽可能降低截止频率以提高工作带宽，所选择的
∑
A o (α) = a n cos (nα),
加权函数 A(α) 的 Fourier 频谱应在 n = N 附近迅
n为奇数
∑ 速下降，而这对应数字信号处理领域的低通滤波器
A e (α) = a n cos (nα),
的冲击响应函数。注意到理想低通滤波器的频谱在
n为偶数
截止频率 n = N 处具有最快的下降速度，因此可以
代入式(4)推得
选择函数 f(α) 为理想低通滤波器的单位冲击响应，
[
( )
2 8πr 0 2 2 π
|p(θ)| = A (θ) cos kr 0 − 即sinc函数。为了避免旁瓣，可以取
e
kr 2 4
] α
( π ) f(α) = sinc , (7)
2
+ A (θ) sin 2 kr 0 − , (5) α 0
o
4
其 中， sinc(x) 为 归 一 化 sinc 函 数， 即 x ̸= 0 时
不 难 发 现 当 |A o (θ)| = |A e (θ)|(即 |A o (α)| =
sinc(x) = sin(πx)/(πx)，x = 0时sinc(x) = 1。此时
|A e (α)|) 时，p (θ) 的幅度与频率无关，即波束形 加权函数A(α)为在零点截断的sinc函数的主瓣。
状与频率无关。
3.2 截止频率
考 虑 A e (α) 和 A o (α) 的 对 称 性： A e (α) 关 于
截止频率是恒定束宽阵列的重要参数，截
α = π/2 偶对称，即 A e (π − α) = A e (α)；A o (α)
止频率越低，对应的工作频率范围越大。这里
关于 α = π/2奇对称，即A o (π − α) = −A o (α)。这
采用 Rogers 和 van Buren [5] 提出的方法进行分析。
样不难发现，在满足条件 |A o (α)| = |A e (α)| 的情况
Rogers 和 van Buren 提出，对于 CBT 阵列，考虑 a 2
下，A(α) 和 A (π − α) 中最多只有一个为非零。考 n
为 α 0 的函数，当 n 6 N 时 a 取得极大值，N 为满
2
虑到通常希望波束主瓣出现在 θ = 0 附近，因此 n
足这一条件的最大正整数。由式 (2) 可见，a n 可由
可以取
A(α)的逆Fourier积分得到

f(α), |α| 6 α 0 , ∫ α 0

A(α) = (6) a n = 2 A(α) cos (nα) dα, n > 0, (8)
0, |α| > α 0 , π 0

n = 0的情况下只是积分号前的系数改为1/π，因此
其中，0 < α 0 6 π/2，f(α) 为待定偶函数。从式 (6)
不再赘述。对于权函数 A(α)，即满足式(6)和式(7)，
可以看出，阵列仅在 |α| 6 α 0 范围内有效，如图 1
推得
所示。
∂a 2 4
综上所述，可以总结出圆弧形恒定束宽阵列加 n = a n f (α 0 ) cos (nα 0 ) = 0, (9)
∂α 0 π
权函数A(α)的两条准则：(1) 加权函数A(α)为偶函
2
2
即 a 总是为极值。为了判断 a 取得极大值还是极
数，并且具有式 (6) 的形式；(2) 工作频率足够高，使 n n
小值，需要检验a 的二阶导数，得到
2
得高频近似条件 kr 0 ≫ n 对于式 (2) 中不可忽略的 n
2 2
∂ a 4
项都能满足，并且式 (4) 中采用的近似具有足够高 n = a n f (α 0 ) cos (nα 0 ) , (10)
′
∂α 2 π
的精度。值得注意的是，准则(2)决定了恒定束宽阵 0
其中，f (x) = df(x)/dx。对于本文提出的sinc加权
′
列工作频率的下限，即截止频率。
函数，显然有 f (α 0 ) < 0。这样有 N = ⌊π/(2α 0 )⌋，
′
其中 ⌊x⌋ 为不大于 x 的最大整数。此时，当 n 6 N
3 优化加权函数
时，在区间 [0, α 0 ] 内有 cos(nα) > 0，因而根据式 (8)
2 2
2
2
3.1 sinc加权函数 得到 a n > 0，因此 ∂ a /∂α < 0，a 取得极大值。
n
0
n
加权函数 A(α) 的构造对于圆弧形恒定束宽阵 当 n = N + 1 时，对于式 (7) 给出的 f(α) 经数值计
2 2
2
2
列的性能至关重要，根据上文总结的准则 (2)，考 算不难验证有∂ a /∂α > 0，a 取得极小值。根据
n
n
0
虑到式 (5) 的近似条件，为了使圆弧形恒定束宽 前面提出的准则 (2) 为 kr 0 ≫ n 对于不可忽略的 a n
均成立，显然有kr 0 ≫ N，得到
阵列具有良好的波束特性，加权函数 A(α) 的余弦
Fourier级数的能量应当集中在低阶项，而高阶项可 kl ≫ π, (11)