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第 37 卷 第 6 期 冯雪磊等： sinc 函数加权圆弧形恒定束宽阵列 905

为圆弧形阵列的半径，推得接收点P 处的声压为 [8]
1 引言 e −jkr ∫ π
p(θ) = A(α)exp [jkr 0 G (φ, θ, α)] r 0 dα,
r −π
圆弧形换能器阵列是声学领域常用的阵列。为 (1)
了不失真地处理宽带声学信号或者实现声场的均
其中，G (φ, θ, α) = cos φ cos θ cos α + sin θ sin α，
匀覆盖，通常要求声学换能器阵列在一定频率范围
A(α) 为与频率无关的阵元加权函数，k 为波数，
内具有不随频率变化的恒定波束特性 [1] 。常用的声 √
j = −1。
学换能器阵列通常可以采用数字信号处理方法实
通常情况下，所需的波束是关于轴向对称的，
现恒定束宽，这种方法具有非常优越的性能 [2−3] 。
并假定 x 轴是圆弧形阵列波束的轴向，因此可以假
但是这种方法通常是将宽频带分为若干个窄带，在
定 A (α) 为偶函数，这样可以将 A (α) 展开为余弦
每个窄带中采用优化算法实现所需的波束，这就使
Fourier级数：
得阵列中阵元的权重都是随频率变化的复杂函数，
∞
增加了计算的复杂度。 A(α) = ∑ a n cos (nα). (2)
美国海军研究实验室的研究人员提出了基于 n=0
Legendre 函数加权的球冠形恒定束宽换能器 (Con- 此外多数情况下，相对于圆弧形阵列在其他平
stant beamwidth transducer, CBT) 阵列 [4−5] ，此 面的波束，对圆弧形阵列所在平面 (即 x-O-y 平面)
后 Keele [6] 将球冠形 CBT 阵列推广到圆弧形阵列。 的波束特性更感兴趣，此时有 φ = 0。将 φ = 0 和
圆弧形 CBT 阵列可以利用不随频率变化的简单阵 式 (2) 代入式 (1) 可以将积分项积出，然后通过简单
元权重，实现宽频带的近似恒定束宽的波束特性。 的运算得到
此外，Keele还制造了圆弧形 CBT阵列的原型样机， ∞
e −jkr ∑ n
并通过实验验证了圆弧形 CBT 阵列的波束特性。 p(θ) = 2πr 0 r a n j J n (kr 0 ) cos (nθ), (3)
n=0
然而圆弧形 CBT 阵列的理论研究较少，因此多采
其中，J n (x)为n阶Bessel函数。
用 Legendre 函数加权这一种加权方法，直到最近，
Taylor 等 [7] 才提出了圆弧形恒定束宽阵列的初步 y
理论框架，并提出了多种其他加权方式。本文基于
Taylor 和 Keele 的工作，分析圆弧形恒定束宽阵列
P
的波束特性，并提出sinc函数加权方法。

O Q
2 圆弧形恒定束宽阵列 θ α
ϕ
x
圆弧形恒定束宽阵列的分析方法主要是基于 z
Taylor 和 Keele 的工作 [7] ，但是本文所采用的公式 P ϕ
略有不同，这里主要列举不同之处和最终的公式，详
图 1 圆弧形阵列
细的推导和分析参考文献[7]。圆弧形阵列的几何结
Fig. 1 Geometry of a circular-arc array
构如图 1 所示，其中黑色粗圆弧表示阵列的有效部
分。自由空间中阵列位于 x-O-y 平面，且阵列圆心
注意到当 x ≫ n 时 Bessel 函数 J n (x) 具有大宗
位于坐标原点O。设Q为圆弧形阵列上的任意一点， √
量近似形式：J n (x) ≈ 2/(πx) cos(x−nπ/2−π/4)，
P 为自由空间中的接收点，P 为 P 在 x-O-z 平面的
′
因此考虑 kr 0 ≫ n 情况下，在式 (3) 中采用 J n (x) 的
投影。设α(−π 6 α 6 π) 为 x 轴正方向与 OQ 的夹
近似式，得到
角，θ(−π 6 θ 6 π) 为 OP 与 x-O-z 平面的夹角 (即 √
∞
8πr 0 e −jkr ∑ ( nπ π )
n
OP 与OP 的夹角)，φ(−π/2 6 ϕ 6 π/2)为OP 与 p(θ) = a n j cos kr 0 − −
′
′
k r 2 4
x 轴正方向的夹角。假定接收点 P 位于远场，且满 n=0
× cos (nθ) . (4)
足远场条件r ≫ r 0 ，其中r 为P 到原点O 的距离，r 0