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的最小正零点；Taylor 和 Keele 提出的余弦函数 时，约80% 的α 0 情况下工作频率高于截止频率。此
加 权 和 Chebyshev 多 项 式 加 权 分 别 为 f (α) = 外，由于滤波器设计中常用的窗函数也具有圆弧
cos [(πα)/(2α 0 )]、f(α) = T n [2u (α)/u (α 0 ) − 1]，其 形恒定束宽阵列加权函数的性质，因此窗函数也能
中 u(α) = 1 + cos α，T n (x) 为 n 阶 Chebyshev 多项 作为加权函数。但是通过计算表明，使用多种常见
式。由图 3 可见，无论是窄覆盖阵列还是宽覆盖阵 的窗函数会导致较高的截止频率，并且采用在截断
列，在高于截止频率时，波束宽度随频率变化均很 点 (即 α = ±α 0 ) 处不为零的窗函数会导致波束的
小，其中 sinc 函数加权阵列的波束宽度变化相对更 畸变。
小一些。注意到 Chebyshev多项式加权阵列对于宽 本文采用 Riemann 求和来近似式 (1) 中的积
覆盖阵列有较好的性能，而对于窄覆盖阵列性能较 分，因此计算得到的波束实际上是阵元间距很近
差，这主要是由于对于较小的 α 0 ，Chebyshev 多项 的离散阵列的波束，而为了避免出现栅瓣采用的积
式加权函数并不足够集中在α = 0附近。 分步长对应的 r 0 dα 为不大于计算频率对应波长的
计算不同阵列的截止频率，如图 4 所示。显然， 1/2.5(其中 r 0 dα 为相邻阵元间的弧长，略大于阵元
根据式 (11) 无法计算截止频率，因此这里采用一个 间距)。
可行的截止频率的计算准则：当工作频率高于截
5 结论
止频率时，阵列的波束宽度与设计波束宽度的偏
差不超过 5%。这里阵列的波束宽度由仿真计算得
本文提出了 sinc 加权函数，并对比分析了窄覆
到，而设计波束宽度实际上是加权函数 A(θ) 的波
盖和宽覆盖 sinc 函数加权阵列和其他函数加权阵
束宽度 (根据第 2 节的分析，当频率足够高时，有 列的波束特性。结果表明，sinc函数加权阵列在工作
|p(θ)| ∝ |A(θ)|)。对于 sinc 函数加权恒定束宽阵列， 频率范围内具有良好的波束一致性。此外还对比分
−6 dB 设计波束宽度约为 1.2α 0 。由图 4 可见，对于 析了其他多种加权方法，结果表明，sinc函数加权阵
大部分 α 0 ，sinc 函数加权阵列均具有较低的截止频 列具有更低的截止频率，对应更大的工作频率范围。
率。注意到较低的 α 0 对应较高的截止频率，这是因
为本文采用的波束宽度的计算准则在 α 0 较小时更
参 考 文 献
为苛刻。此外，图 4 中截止频率曲线出现若干不连
续性，这主要是由于波束宽度曲线在截止频率附近
[1] Toole F E. Sound reproduction: loudspeakers and
的波动引起的，如图 3 所示。还可以进一步计算得
rooms[M]. Burlington: Focal Press, 2008.
到，对于 sinc 函数加权阵列，当 kl > 20π时，约90% [2] Wang Y, Yang Y, Ma Y, et al. Broadband pattern synthe-
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