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442 2019 年 5 月

平波束，β m (f) 是第 m 阶简正波的衰减系数，S(f) 式(9)能量为
√
是声源的谱级。A = e jπ/4 / 8πρ(z s )，其中，ρ(z s )是 ( ) 2
∫ N
∞
∑
声源所在深度水的密度。 E(Wp)= | ˙w (t)| A m (w (t)) e j2πf cm t dt.
由稳相法其可以表示为 −∞ m=1
(11)
N
∑
p(t) = A m (t)e jΦ m (t) , (2)
将式(8)变为
m=1
√
其中，A m (t)、Φ m (t) 是在 t 时刻 m 模态的幅值和相 2 2
t = w (t) − (r/c) . (12)
位。对于理想的波导环境其瞬时相位，
√ 将式(12)代入式(11)，可得
2
2
Φ m (t) = 2πf cm t − (r/c) , (3)
∫ ∞ ( N √ ) 2
r
式(3)中，f cm 为理想波导条件下第m阶简正波的截 E(Wp)= ∑ A m (w (t)) e j2πf cm w (t)−( c ) 2
2
止频率，绝对硬海底情况下为 −∞ m=1
(2m − 1) c × d|w(t)|. (13)
f cm = . (4)
4H
因为低频带声信号在浅海波导中呈现出频散 因为变换过程中满足能量守恒，所以式 (10)
效应，第m阶模态简正波的频散曲线满足 与式 (13) 分别表示的 E(p)、E(Wp) 满足 E(p) =
E(Wp)，即warping域的帕萨瓦尔定律。warping变
v gm = r/t m , (5)
换基于理想波导得出，但它适用于大部分海底反射
其中，t m 为第 m 阶简正波到达的时间，v gm 是第 m
类简正波情况 [19] 。
阶简正波的群速度。对于既定的浅海波导，群速度
v gm 是一个常数，它由波导的环境参数决定，所以在 1.2 海底参数反演方法
获取到不同号简正波的群速度后，可以用它来反演 由于海底不同的声学参数对声场测量值敏感
海洋环境参数。 性不同，可将海底声学参数分步反演。其中，海底声
将式 (3) 中理想波导的瞬时相位带入式 (2) 中， 速对模态的频散曲线最为敏感，故利用频散曲线反
得 演海底声速最为有效。而海底沉积层中的声速、密
N √
r
∑ ( ) 2 度均与孔隙率有着密切的关系，这里利用Hamilton
2
p(t) = A m (t)e j2πf cm t − . (6)
c 经验公式中海底声速c和密度ρ的关系：
m=1
由式 (6) 知其相位随时间呈非线性关系，为消
2
c = 2330.4 − 1257ρ + 487.7ρ . (14)
除相位的非线性，引入算子
1/2 根据反演海区声速变化范围的先验知识，在合
(Wp) (t) = | ˙w (t)| p [w (t)] , (7)
理的范围内对海底声速进行搜索获取海底密度，然
其中，warping变换算子为
后将其代入声场计算程序。代价函数为
√
2
2
w (t) = t + (r/c) . (8) [ ] 2
r
∑ ∑ ( )
f(Ω) = − v mfg (Ω) , (15)
将式(8)代入式(6)，则式(7)为 t mf
f m
N
∑
1/2 j2πf cm t 这里，m 代表简正波的阶数，f 代表反演频点数，频
(Wp) (t) = | ˙w (t)| A m [w (t)] e . (9)
m=1 带范围约为 60∼300 Hz，(r/t) mf 为按照式 (5) 计算
经过 warping 变换以后，信号的相位变成了时 所得第 m 阶简正波的群速度，Ω 为待反演参数，反
间 t 的线性函数，这里信号的幅值不太直观。现 演过程中考虑了海深对频散曲线的影响。
在，分别由式(6)与式(9)求得各自时间域上的能量，
声波在浅海传播过程中，波阵面的几何扩展、
式 (6)能量表示为
波导介质吸收以及边界散射均可引起声能量的损
( ) 2
∫ N √
∞ ∑ 2 r 2 失。海表面近似为软边界，对声波造成的能量损耗
E(p) = A m (t)e j2πf cm t −( c ) dt.
较少。对于低频段，由于海底衰减远大于海水吸收
−∞ m=1
(10) 产生的能量损失，故在传播损失表达式中略去海水