Page 147 - 应用声学2019年第4期

第 38 卷 第 4 期 黄惠祥等： 分布式压缩感知麦克风阵列多声源方位估计 607

x m (n) = h m (r s , n) ∗ s(n) + ω m (n), (5)
1 算法
其中，n 为离散时间序列，h m (r s , n) 是声源位置 r s
1.1 CS理论 到第m个麦克风的房间冲激响应，s(n)为声源信号，
考虑有限长一维离散时间信号 Y ，可以看作 ω m (n) 为第 m 个麦克风接收到的噪声信号，* 为卷
N × 1 维的列向量，Y = [Y 1 , Y 2 , · · · , Y N ] T 可用基 积运算。对x m (n)加窗后经离散傅里叶变换得到频
矩阵Ψ = [Ψ 1 , Ψ 2 , · · · , Ψ N ] 线性表示为 域上的麦克风阵列信号可以表示为
T
N
∑ X m (k) = H m (r s , k)S(k) + W m (k), (6)
Y = SΨ = S i Ψ i , (1)
i=1 其中，X m (k)、H m (r s , k)、S(k)、W m (k) 分别为
其中，S 系数矢量为 N × 1 维的列向量，S 和 Y 是 x m (n)、h m (r s , n)、s(n)、ω m (n) 的离散傅里叶变
同一个信号的等价表示，Y 是信号的时域表示，而 换。将其用矢量表示为
S 则是信号的 Ψ 域表示。若矢量 S 中的非零个数 T
X(k) = {x 1 (k), x 2 (k), · · · , x M (k)} ,
∥S∥ 0 满足
T
H(r s , k) = {H 1 (r s , k), H 2 (r s , k), · · · , H M (r s , k)} ,
∥S∥ 0 = K ≪ N, (2) T
W (k) = {W 1 (k), W 2 (k), · · · , W M (k)} ,
那么认为信号 Y 在基矩阵 Ψ 上为 K 稀疏信号，K 则式(6)可表示为
为Y 信号的稀疏度，基矩阵Ψ 为稀疏基。
X(k) = H(r s , k)S(k) + W (k), (7)
在 CS 理论中，若信号在基矩阵上是稀疏的，
那么稀疏信号可以线性投影到低维空间，利用低 其 中， X(k) 为 频 域 的 麦 克 风 接 收 信 号 矢 量，
维空间的采样信号，能够高概率地无损重构出 H(r s , k) 为声源位置 r s 处的房间频域响应矢量，
高维原始信号。通常利用一个平稳的、与基矩阵 W (k)为频域的噪声矢量。
Ψ 不相关的 M × N(M ≪ N) 维观测矩阵 Φ 对信 令声源的空间位置集为 {r 1 , r 2 , · · · , r I }，其中
号 Y 进行线性变换，得到 M × 1 维的观测矢量 空间位置集个数 I 远大于目标声源个数，则冗余的
T
X = [X 1 , X 2 , · · · , X M ] ，可表示为 房间频域响应矩阵为
D(k) = {H(r 1 , k), H(r 2 , k), · · · , H(r I , k)}, (8)
X = ΦY = ΦΨS = ΘS, (3)
称 冗 余 的 房 间 频 域 响 应 矩 阵 D(k) 为 字 典， 在
其中，Θ = ΦΨ 称作CS矩阵。当随机观测矩阵Φ满
字 典 扩 展 下 的 声 源 频 域 的 信 号 矢 量 可 表 示 为
足 M > CK lg(N/K) 时 (C 是一个与恢复精度有
T
S(k) = {S 1 (k), S 2 (k), · · · , S I (k)} ，则式 (7) 可以
¯
¯
¯
¯
关的常数)，Θ 有较大概率满足有限等距性质 (Re-
扩展为
stricted isometry property, RIP) 条件，可以实现高
¯
概率的信号重构 [13] 。通过 l 0 范数最小化求解 S 的 X(k) = D(k)S(k) + W (k). (9)
精确或者近似逼近S，即 由于目标声源的个数小于空间位置集个数 I，
¯
¯
ˆ 因此 S(k) 在空间位置集下具有稀疏性，S(k) 中的
S = argmin∥S∥ 0
非零元素与可能存在的声源位置 r s 一一对应。但
s.t. ∥X − ΘS∥ 2 6 ε, (4)
是在实际应用中，由于房间冲激响应的长度远大
其中，ε为与噪声有关的常量。重构后的系数S 在基
¯
于窗函数的长度，因此 S(k) 中的非零个数大于声
矩阵 Ψ 上的表示最稀疏。CS 理论的核心问题是信
源的实际个数。为了获得更准确的声源位置，往往
号的重构，目前的重构算法有贪婪追踪算法、凸松
综合利用多个频点的信息 [7] ，离散傅里叶变换长度
弛法、组合算法等三大类 [14] 。
设置为 K，则声源的频域信号矢量 X(k) 包含 K/2
1.2 CS算法的DOA估计模型 个频点，设置阈值 η(0 6 η 6 100) 选取能量较高的
∑
¯
¯
处于室内远场环境的 M 元麦克风阵列，第 m (ηK/2)% 个频点叠加获得S = S(k)，则
(ηK/2)%
¯
个麦克风接收到的信号 x m (n)(m = 1, 2, · · · , M) 叠加后的 S 中最大元素所对应的位置为声源信号
为 的空间位置。