Page 116 - 《应用声学》2019年第6期

1018 2019 年 11 月


式 (6) 中，s (i,j) 为 U (i,j) 节点的小波包系数。由此可  σ √ 2 ln(N), T 6 U,
得出每层分解后子带的相对能量公式为 th= ( √ √ ) (11)
 min σ 2 ln(N), σ λ min , T > U.
E (i,j)
k (i,j) = , (7) (4) 极大极小阈值法 (minimaxi)，也是固定阈
j
2 −1
∑
值的一种，产生最小均方误差的极值。
E (i,j)

i=1
 0, 其他,
其中，k (i,j) 为节点 i在第 j 层的相对能量，代表有效 th = (12)
N
 σ(0.3936 + 0.1829 log ), N > 32.
成分的含量，对每层的节点相对能量 k (i,j) 由大到 2
以上各式中 σ = MAD/0.6745 为噪声标准方差，
小进行排序，k (i,j) 的最大值记为 C (1,j) ，最小值记为
MAD为各高频子带系数的中值；N 为信号长度。
C (n,j) ，即C (1,j) > C (2,j) > · · · > C (n,j) ，其中j 代表
如 1.1 节所述，若 C (1,1) > 0.9、C (2,1) < 0.1 信
层数。首先对信号第一层分解相对能量进行初判：
号能量频段相对集中，只对 C (1,1) > 0.9 进行小波去
C (1,1) > 0.9、C (2,1) < 0.1 信号能量频段相对集中的
噪。其他情况下，信号最优分解层m上，节点相对能
情况，这种情况下对每层的 k (2,j) 进行对比，当第 j
量 k (i,j) > 0.2 的节点系数采用无偏似然估计阈值
层的C (2,j) 大于第 j − 1 层C (2,j−1) 时，将j − 1作为
估计方法；k (i,j) > 0.1、k (i,j) < 0.2 的节点系数采用
最优分解层数。
极大极小阈值法；k (i,j) < 0.1 的节点系数采用统一
其他情况下，对信号逐层分解，将C (1,j) 首次小
阈值法选择。多阈值准则选取表如1所示。
于0.2 的层数 j 进行记录，如果j > 1，最优分层数为
m = (j − 1)；如果j = 1，最优分解层数为1。 表 1 多阈值准则选取表
Table 1 Multiple threshold criteria selec-
1.2 小波包分段阈值处理法
tion table
水声信号的频率范围比较广，不能简单地将低
频段作为有用信息、高频段作为噪声信号处理，按 k (i,j) > 0.2 0.1 < k (i,j) 6 0.2 k (i,j) 6 0.1
rigrsure heursure sqtwolog
小波相对能量法实现分段阈值降噪处理，该方法与
单一阈值处理相比充分考虑信号频率段与噪声分 目前常用的阈值函数为硬阈值函数和软阈值
布情况。针对不同的分解系数选取最合适的阈值函 函数。硬阈值将绝对值不大于阈值的元素置零，存
数和阈值th，最大程度去除噪声，保留有效成分 [18] 。 在不连续现象，数学表达式为

目前，常用的阈值估计方法主要有以下几种：  x, |x| > th,
(1) 固定阈值估计法 (sqtwolog)，在正态高斯噪 y = (13)
0, |x| 6 th.

声模型下，针对多维独立正态变量分布得出的结论。
软阈值函数在式 (13) 的基础上实现连续点收
√
th = σ 2 ln(N). (8) 缩为零，有效避免间断，连续性较好，但小波系数较
大时，系数绝对值与系数之间存在偏差，易造成高频
(2) 无偏似然阈值估计法 (rigrsure)，小波分
信息损失，重构信号易产生误差，其表达式为
解系数的平方记为 λ，从小到大的顺序排列，即
{
λ 1 6 λ 2 6 · · · 6 λ n 。设风险向量R，其元素为r i ， sign(x)(x − th), |x| > th,
y = (14)
[ ]
∑ 0, |x| 6 th.
r i = N − 2i + (N − i)λ i + λ k /N. (9)
考虑到硬阈值和软阈值函数处理信号细节成
k=1
分的局限性，利用文献[19] 中的新型阈值函数，公式
风险向量R 的最小值 r min 作为风险值，对应求出对
如下：
应的 λ min ，则阈值为

x, |x| > th,

√
th = σ λ min . (10)  2th

 tanh( e 4|x| − e ) 1
y = sign(x) 4th 2th , th < |x| < th,
(3) 启 发 式 阈 值 法 (heursure)， 是 前 两 种 阈  e − e 2

 1

值的综合， 设 S 为 N 个小波系数的平方和。令  0, |x| 6 th,
√ 2
T = (S − N)/N，U = (log (N)) / N， (15)
15
2