Page 115 - 《应用声学》2019年第6期

第 38 卷 第 6 期 赵杰等： 小波包节点分段阈值降噪在水声监听中的应用 1017

优化。利用小波包节点系数分段阈值处理的方法对 在多分辨率分析中，U 0 (t) 和 U 1 (t) 分别退化为
监听获得的 100 Hz∼50 kHz 范围内水下声音数据 尺度函数φ(t)和小波基函数ψ(t)：
降噪处理分析，对不同频段范围内的水声信号进行  ∑
 φ(t) = h(k)φ(2t − k),
提取，噪声信号分离，结果表明：该方法既可以对 

k∈Z (4)
1 kHz 上下范围内的较强信号进行降噪提取，也可 ∑
 ψ(t) = g(k)φ(2t − k).


对较高频率相对较弱的信号实现降噪分离。 k∈Z
小波包变换的分解与合成中，存在由多种小波
1 小波包算法基本原理
基组成的基底库，因此需要根据不同场合、不同信
小波包算法为最佳子带树结构 (Optimal sub- 号并且在综合考虑小波基的正交性、紧支性、对称
band tree structuring)，包括分解算法和重构算法。 性等特性的基础上选择合适的小波基。从小波库中
用子带树来表示小波包分解，利用多次迭代的小波 寻找使代价函数最小的小波包基，选择关键是代价
转换对信号的低频和高频部分进行多层次划分，根 函数 [15] 。
据信号特征，自适应选择频带范围，分析信号细节 i=max
∑
部分。小波包克服了小波分析的高频分辨率低的 E(s) = E(s i ), (5)
i=1
缺点，对信号在全频带范围内进行正交分解，提高
式 (5) 中，s 代表信号，s i 表示信号在小波包基上的
时-频分辨率 [14] 。子带树结构图如图1所示。
分解系数。求出使代价函数最小的小波包序列，从
U ↼֒↽
而求出最优基。代价函数称为熵或平均信息量，代
价函数自变量是信号在某个基向量组上分解系数，
U ↼֒↽ U ↼֒↽
函数实部因变量即为代价。采用二叉树自下向上搜
索最优小波包基，小波包基的选取是后续数据处理
U ↼֒↽ U ↼֒↽ U ↼֒↽
U ↼֒↽
的关键。
U ↼֒↽ U ↼֒↽ U ↼֒↽ U ↼֒↽ U ↼֒↽ U ↼֒↽ U ↼֒↽ U ↼֒↽
1.1 小波包相对能量确定最优分解层数
图 1 子带树结构
小波包分解需要获得一个最优的分解层数。分
Fig. 1 Subband tree structure
解层数直接影响信号的去噪效果，分解层数过多对
将 尺 度 空 间 V j 和 小 波 子 空 间 W j 统 一 用 各层小波系数阈值处理过程中造成信息量丢失严
U(n, j)新的子空间来表示： 重、信噪比下降、运算量增加。分解层数过少，信噪

比提高不多，去噪效果不明显 [16] 。原始信号和噪声
U(0, j) = V j ,

j ∈ Z. (1) 信号的小波系数在不同层次有不同特性，原始信号
U(1, j) = W j ,

的小波系数会随着分解层次增加而增大，噪声信号
定义子空间 U(n, j) 为函数 U n (t) 的闭包空间，
小波系数减小。
U n (t) 是函数 U 2n (t) 的闭包空间，令 U n (t) 满足双尺
通过最优小波包中节点能量判断的方法确定
度方程：
 小波包分解层数。根据最优小波基节点能量的大
√ ∑
 U 2n (t) = 2 h(k)U n (2t − k), 小，判断该节点有用信号能量大小。能量越高，表示



k∈Z (2)
√ ∑ 该频段的有效成分越多，反之，噪声成分越多。据此，
 U 2n+1 (t) =
 2 g(k)U n (2t − k),

 根据能量值判断有效成分，确定最优分解层数。
k∈Z
如图 1 所示，U (i,j) 表示第 j 层的第 i 个节点，每
式 (2) 系数为多分辨率分析中的滤波器系数，满足
个节点系数表示某一频段内的信号特征，其中
正交关系，g(k) = (−1) h(1 − k)。当n = 0，
k
 j = 0, 1, · · · , n，i = 0, 1, · · · , 2j − 1。能量计算公式
∑
 U 0 (t) = h(k)U 0 (2t − k), [17]

 为

k∈Z
(3) ∫
∑ 2

 U 1 (t) = g(k)U 0 (2t − k). E (i,j) = , (6)
 U (i,j) (t) dt = s (i,j)

k∈Z