Page 35 - 《应用声学》2020年第1期

第 39 卷 第 1 期 陈宝书等： 基于几何级数展开的鬼波压制方法 31

子) 可以在 TX 域进行，也可以在 FK 域进行。因为 其中，I 表示单位算子。公式 (4) 可以得到一个稳定
可以借助快速傅里叶变换 (FFT) 进行快速计算，因 的鬼波压制结果，但是在陷波频率处的能量并没有
此FK域方法在计算效率上有优势。 补偿，这个不难理解：在陷波点，地震数据 d 的能量
等于 0，在不引入先验信息的情况下，不可能恢复已
0
0.7
经丢失的信息。下面通过一个简单的数值算例说明
0.6
20 这一点。设计一个简单的一维算例，缆深等于25 m，
0.5
ᮠဋ/Hz 40 0.4 合成的含鬼波记录及其频谱见图 3(a)，从频谱上可
60 0.3 以看到陷波效应，因为鬼波的存在，导致地震信号的
0.2
有效频带变窄，图 3(b) 是根据公式 (4) 压制鬼波以
0.1
80
0 后的结果，可以从频谱上看出，陷波频率处的信号能
-0.05 0 0.05
ฉ஝/m -1 量没有得到补偿，导致波形出现了扰动。为了解决
(a) FK۫ 这个问题，回到逆鬼波算子式 (2)，对其进行几何级
T10 -3 数展开。
0 10
8
1
0.05 6
4 ࣨए 0
௑ᫎ/s 0.10 2 0 -1 0 0.2 0.4 ௑ᫎ/s 0.6 0.8 1.0
0.15
-2
20
-4
0.20
-6 ࣨए 10
-8
0.25 0
-500 0 500 0 20 40 60 80 100 120
ᡰሏ/m ᮠဋ/Hz
(b) TX۫
(a) ե᱆ฉ஝૶ԣХᮠ៨
图 2 鬼波算子在 FK 域和在 TX 域的响应 1
Fig. 2 Ghost operator in FK domain and TX domain ࣨए 0
-1
1.2 基于几何级数展开的逆鬼波算子 0 0.2 0.4 ௑ᫎ/s 0.6 0.8 1.0

1.2.1 常规FK域鬼波压制算子 20
ࣨए 10
满足模型假设的前提下，如果准确知道缆深数
0
据，逆鬼波算子可以表示为 [17] 0 20 40 60 80 100 120
௑ᫎ/s
1 1 (b) Нर(4)ԍ҄᱆ฉ̿Ցᄊፇ౧
D(ω, k x ) = = . (2)
G(ω, k x ) 1 − e −2ik z (ω,k x )z r
图 3 一维鬼波压制算例
公式 (2) 在陷波频率下存在奇异性 (G 算子在陷波 Fig. 3 1D deghosting example
频率处等于 0，见图 2)，直接求逆存在数值不稳定问
1.2.2 基于几何级数展开的逆鬼波算子
题。为了解决这个问题，可以把鬼波压制问题看作
针对逆鬼波算子式(2)，可以对其进行几何级数
一个最小二乘反演问题：
展开 [17] ：
1
min J(p) = ||d − Gp|| 2 + µR(p), (3) 1
2 D(ω, k x ) =
1 − e −2ik z (ω,k x )z r
其中，p 表示一次波数据，d 表示含鬼波的地震数据，
∞
∑
R 是正则化算子，目的是对一次波数据进行某种约 = e −n2ik z (ω,k x )z r . (5)
束，使得公式 (3) 具有唯一解，µ 是正则化参数。通 n=0
公式 (5) 目前还没有消除奇异性，因为需要对
常 R 算子取为 p 的二范数，这时公式 (3) 对应的形
无穷多项求和。为了解决这个问题，需要对公式 (5)
式解为
进行分析，明确每一项的含义。第一项是单位算子，
∗
∗
p = (G G + µI) −1 G d, (4)
第二项表示一个波场延拓算子。