Page 76 - 《应用声学》2020年第5期

718 2020 年 9 月

       
1.2 管道消声性能计算的传递矩阵法
p 1 p 4 t 11 t 12 p 4
  = [T ]   =     . (8)
传递矩阵描述了管道进出口声压和质点振速
u 1 u 4 t 21 t 22 u 4
的关系，可以表示为
根据位置 1 和位置 4 处的刚性壁边界条件，得
   
p I p O 到t 21 = 0，即为y 方向的特征方程。
  = [T ]   , (2)
同理，使用同样的方法可以得到 x 方向的特征
u I u O
其中，T 为传递矩阵，p I 和p O 分别为进出口的声压， 方程。求解由两个特征方程构成的方程组即可求得
u I 和u O 分别为进出口的质点振速。 两个方向的波数 k x 和 k y ，轴向波数可以通过式 (9)
对于如图 1 所示的包覆式消声管道，如果忽略 计算得到：
矩形管道截面边角的影响，可以分别考虑 x 和 y 两 2 2 2 2 (9)
k + k + k = k .
x y z
个方向的传递矩阵关系，在y 方向，吸声材料及空气
将轴向波数代入式(1)即可得到传递损失。
中的传递矩阵分别表示为
对于圆形截面包覆管道，如图2 所示，r i 和r o 分
 i˜ρω 
˜
˜
cos(k y t y ) sin(k y t y ) 别为穿孔管内侧空气域半径以及管道半径，空气中
˜
 k y 
[T 1 ] =   , (3) 的声压和质点振速可以分别表示为
 ˜ 
ik y ˜ ˜
sin(k y t y ) cos(k y t y )
˜ ρω
p = AJ 0 (k r r), (10)
 
iρ 0 ω
cos(k y h) sin(k y h) i
 k y  u = Ak r [−J 1 (k r r)] , (11)
[T 2 ] =   , (4) ρ 0 ω
 
ik y
sin(k y h) cos(k y h) 其中，A 为模态系数，ρ 0 为空气密度，k r 为横向波
ρ 0 ω
数，J 0 和 J 1 分别为 0 阶和 1 阶第一类贝塞尔函数，
[T 3 ] = [T 1 ], (5)
0 6 r < r i 。吸声材料中的声压和质点振速可以分
˜
其中，k y 和k y 分别为空气和吸声材料中 y 方向的波
别表示为
数，ρ 0 和 ˜ρ分别为空气和吸声材料的密度，t y 为吸声
˜
˜
∗
材料 y 方向厚度，h 为空气域厚度，i 为虚数单位，ω p = BJ 0 (k r r) + CY 0 (k r r), (12)
为圆频率。穿孔板内外两侧的传递矩阵可以表示为 u = i dp ∗
∗
  ˜ ρω dr
˜
1 ζ p ˜ [ ] ˜ [ ]
[T t ] =   , (6) = iBk r −J 1 (k r r) + iCk r −Y 1 (k r r) , (13)
˜
˜
0 1 ˜ ρω ˜ ρω
˜
˜
其中，ζ p 为穿孔阻抗。最后，位置 1 到位置 4 的整体 其中，B 和 C 为模态系数，˜ρ 为吸声材料的密度，k r
传递矩阵可以通过式(7)求得： 为吸声材料中的横向波数，Y 1 为第二类 1 阶贝塞尔
函数，r i 6 r < r o 。
[T ] = [T 1 ] [T t ] [T 2 ] [T t ] [T 3 ] , (7)
3
即为
r o
2
 1
r i
T 
 T t
y y
T 
(a) ኮ᥋Ο᜽ڏ੕᭧ (b) ኮ᥋൤᜽ڏ੕᭧
x x
 T t
图 2 圆形包覆式消声管道
 T 
Fig. 2 Round silencing duct with packed housing
(a) ኮ᥋੕᭧ (b) yவՔᄊ͜᤬ᅾ᫼
图 1 方形包覆式消声管道 穿 孔 管 处 以 及 管 道 外 壁 的 边 界 可 以 分 别
Fig. 1 Square silencing duct with packed housing 表示为