Page 77 - 《应用声学》2020年第5期

第 39 卷 第 5 期 杨亮等： 等截面消声管道传递损失计算的简化方法 719


˜
∗
p 2 − p = ζ p u 2 ,

 2

C 2
u 2 = u , (14)
∗
2



 ∗ C 1
u = 0,
3
˜
其中，ζ p 为穿孔阻抗，数字下标 2 和 3 分别代表如
图 2所示位置2和位置3 处的变量值。
将声压以及质点振速表达式代入边界条件得
图 3 非规则消声管道截面示意图
到如式 (15) 的方程组，求解方程组并利用波数关系
Fig. 3 Cross-section of non-regular silencing duct
式(16)得到轴向波数进而计算传递损失。
 ˜  消声管道的边界条件为刚性壁面边界条件和
iζ p k r ˜ ˜
J
 0 (k r r i )+ J 1 (k r r i ) −J 0 (k r r i ) −Y 0 (k r r i )  穿孔阻抗边界条件，应用伽辽金加权余量法以及格
 ρ 0 ω 
  林公式可以得到横截面C 1 和C 2 上的横向本征方程
˜ ρk r
 ˜ ˜ 
 − J 1 (k r r i ) J 1 (k r r i ) Y 1 (k r r i )  [11]
˜
 ρ 0 k r  为
 
{ [ ]
˜
˜
0 J 1 (k r r o ) Y 1 (k r r o ) 2 2
K 1 − (k 0 − Mk z ) − k z M 1
   
    }
A 0 ( )
    jk 0 k z
    + 1 − M
˜
× B = 0 , (15) ζ p k 0 Z 11 p 1
   
    ( )
   
C
0
    jk 0 k z
− 1 − M Z 12 p 2 = 0, (21)
˜
ζ p k 0
求解行列式等于 0 的特征方程可以得到 k r ，轴向波 [ ]
( 2 ) k 0 ˜ρ
˜ 2
K 2 − k − k M 2 + j
数k z 可以通过下式得到 z Z 22 p 2
˜ ρ 0
ζ p
√ k 0 ˜ρ
2
2
k z = k − k . (16) − j Z 21 p 1 = 0, (22)
r
˜ ρ 0
ζ p
需要指出的是，传递矩阵法中只考虑了管道中 其中，
平面波传播的情况，没有考虑高阶模态的影响。 ∑ ∫
T
K = (∇N) (∇N) dS e ,
e e
1.3 管道消声性能计算的二维有限元方法 e S e
∫
∑ T
传递矩阵法的计算效率较高，但是对于更一般 M = (N) (N) dS e ,
e
e
的情况，如果截面形式较为复杂，无法使用传递矩阵 e ∫ S e
∑ T
法，这时可以考虑使用二维数值方法计算轴向波数， Z = (N) (N) dL e
e
e
e L P e
本文使用的是二维有限元方法。
分别为横截面上的广义刚度矩阵、质量矩阵和穿孔
空气域和吸声材料域如图 3 所示，两个区域通
阻抗矩阵。N 为形函数的列向量，p 1 和p 2 分别为横
过穿孔边界连接，在空气域考虑存在均匀流，空气和
截面 C 1 和 C 2 上节点声压组成的列向量，角标 “e”
吸声材料中的二维声波控制方程为
代表单元，S e 为空气域或吸声材料域面单元，L e 为
2
p
∇ p xy1 + k 2 xy1 xy1 = 0, (17) 穿孔边界线单元。
xy
2
p
∇ p xy2 + k 2 xy2 xy2 = 0. (18) 联立方程 (21) 和 (22) 可以得到考虑均匀流影
xy
响的消声管道的横向本征方程为
空气和吸声材料中等效的横向波数 k xy1 和
( 2 )
k xy2 分别满足以下方程： α + k β + k z χ P = 0, (23)
z
2
2
k 2 xy1 + k = (k 0 − Mk z ) , (19) 其中，
z
 
˜ 2
2
k 2 + k = k , (20)  P 1 
xy2 z
P = ,
 
其中，M 为马赫数。 P 2