Page 116 - 《应用声学》2020年第6期

910 2020 年 11 月

通过求解积分方程 (11) 和积分方程 (12)，可
2 复合板BB布局声振模型 以得到
   
 
本节详细推导了BB结构的声振问题，由于BU T 11,mn T 12,mn α 1,mn
 
结构、UU 结构推导与 BB 结构推导相似，本文将不 T 21,mn T 22,mn  α 2,mn 
2M ×2M 2 2M ×1
2
2
再赘述。因为是弹性多孔材料直接与面板连接，所  
 
F mn
以芯层的厚度就是弹性多孔材料的厚度。 = , (13)
0
 
2M ×1
2
2.1 板的弯曲振动
其中，矩阵(13)中的元素分别为
用W 1 和W 2 分别表示上板和下板的横向位移。 D 1 π S S
4
∗
∗
在谐波激励下，上下板的横向变形可以用模态分解 [T 11,mn ] = 4 ∆ − 4 Q 11 ∆ ,
2
1
S
形式表达为 [T 12,mn ] = − Q 12 ∆ , [T 21,mn ] = S Q 21 ∆ ,
∗
∗
4 2 4 2
∑ iωt 4
W i (x, y, t) = ϕ mn (x, y)α i,mn e , D 2 π S ∗ S ∗
[T 22,mn ] = ∆ + Q 22 ∆ . (14)
m,n 4 1 4 2
i = 1, 2, (7) 方程 (11) 和方程 (12) 中只有 α 1,mn 和 α 2,mn 是
未知的，m、n 取值是无限多的，但是这类方程可
∞ ∞
∑ ∑ ∑
其中， = ，板在四边简支边界条件下的 用截断方法来进行数值求解：1 6 m, n 6 M，其
m,n m=1 n=1 中最大整数 M 取值需要同时保证精度高而且计算
模态函数为
2
2
量小。M × M 的矩阵 ∆ 和 ∆ 具体值在附录 A
∗
∗
( ) ( ) 1 2
mπx nπy
ϕ mn (x, y) = sin sin . (8) 中给出。通过求解方程 (13) 可以计算出模态系数
a b
α i,mn (i = 1, 2)，从而能求解出板位移W 1 和W 2 。
对于 BB 结构，当两块板都直接与多孔材料固
定，上下板的弯曲运动表达式为 2.3 复合板结构入射声功率传输损失
2 入射声场中的声速度势由一个入射波与一个
4 ∂ W 1 s f
D 1 ∇ W 1 + m 1 2 = iωρ 0 Φ 1 + σ + σ , (9) 反射波组成，其幅值分别为 I 和 R，声速度势可
z
z
∂t
2
4 ∂ W 2 s f 表示为
D 2 ∇ W 2 +m 2 2 =−iωρ 0 Φ 3 −σ −σ , (10)
z
z
∂t
Φ 1 (x, y, z, t) = Φ i + Φ r
其中，双调和算子 ∇ = (∂ /∂x + ∂ /∂y ) ；板的
2
4
2
2 2
2
面密度 m i = ρ p h i (i = 1, 2)，ρ p 为板的密度；弯曲刚 = I e −i(k x x+k y y+k z z−ωt)
3
E p h (1 + iη p ) + R e −i(k x x+k y y−k z z−ωt) . (15)
i
度D i = (i = 1, 2)，E p 为板的杨氏模
2
12(1 − ν )
p
量，η p 为板的损失因数，ν p 为板的泊松比。 假设入射波是单位振幅，即 I = 1，同时假设声
波透射场是半无限大且消声终止，因此在这个声场
2.2 加权余量法 中就只有一个振幅为 T 的透射波，其声速度势可以
基于权函数的加权余量法，微分方程的解是形 表示为
函数的线性组合，在整个域内，权函数与微分方程
Φ 3 (x, y, z, t) = T e −i(k x x+k y y+k z z−ωt) . (16)
的乘积的积分可以设为0，权函数取形函数ϕ mn 。对
将声波入射速度势带入面板和多孔材料以及
式 (9)和式(10)运用加权余量法可得
空气层耦合的边界条件可以分别求出反射系数 R
b
∫ ∫ a ( 2 )
4 ∂ W 1 s f 和透射系数 T 的表达式，通过加权余量法求解上板
D 1 ∇ W 1 +m 1 2 − iωρ 0 Φ 1 − σ − σ z
z
∂t
0 0
和下板的位移，可以得到反射系数 R 和透射系数 T
× ϕ mn (x, y)dxdy = 0, (11)
的具体数值。
b a 2
∫ ∫ ( )
4 ∂ W 2 s f 声功率定义为
D 2 ∇ W 2 + m 2 2 +iωρ 0 Φ 3 +σ +σ z
z
∂t [∫ ]
0 0 ∏ 1
∗
= Re pv dS , (17)
× ϕ mn (x, y)dxdy = 0. (12) 2 S z