Page 115 - 《应用声学》2020年第6期

第 39 卷 第 6 期 陈亮等： 四边简支含多孔材料双层板隔声特性 909

ቇඡ ܳߘెந + ε (C 3 e −ik 2z z + C 4 e ik 2z z ] (3b)
f
2 ) ,
2
2
2
其中：k 2 1,2z = k 1,2 − (k + k ) 为波数在 z 方向的分
y
x
f
f
s
量，ε 、ε 、ε 、ε 为与材料参数相关的系数，可参考
s
1 1 2 2
文献 [13]。将在多孔材料固相和流体相中的位移分
s
量u 和u 、应力 σ 和σ 代入复合板结构中多孔材
s
f
f
z
z
z
z
料与面板或者空气层不同耦合界面边界条件求解
AA BB BU UU
未知常数C 1 ∼ C 4 。
图 2 双层复合板不同结构
1.3 耦合边界条件
Fig. 2 Different configurations of the double-wall
sandwich panel 边界条件取决于板和多孔材料的耦合关系，如
图3所示。假定面板是各向同性的均匀板，板的厚度
1.2 声波在多孔弹性材料中传播
对比板的横向尺寸足够薄，根据 Kirchhoff-Love 板
在给定的入射方向 (ϕ, θ) 下，平面波入射到上 理论，面内变形以及剪切应力可以忽略。
面板，进入多孔弹性介质传播，波数分量为
z ڍᄱ ืʹᄱ
k x = k 0 sin ϕ cos θ,
σ s z σ f z u s z u f z
k y = k 0 sin ϕ sin θ, k z = k 0 cos ϕ, (1)
W
其中，空气中入射的平面波波数k 0 = ω/c 0 。
ᨸ౜
v z
根据 Biot 的理论 [14−15] ，声波在均匀且各向同
(a) ᄰଌᏹՌ
性的流体饱和多孔弹性介质中传播时，以快纵波、慢 z
纵波和剪切波 3 种形式传播。由于接下来的分析中
σ s z σ f z u s z u f z
只讨论了声波垂直入射的情况，所以剪切波的影响
可以忽视。k 1 、k 2 分别为快纵波、慢纵波的波数，具 v z W ቇඡࡏ
体表达式可参考Biot [14−15] 。 ᨸ౜
v z
利用固相 -流体相的体积应变可以推导出位移 (b) ᤰ᣿ቇඡࡏᏹՌ
分量的表达式，固相和流体相中位移在 z 方向分量 图 3 不同耦合情况
表示为 Fig. 3 Different coupling methods
s
u = i e −i(k x x+k y y−ωt)
z 板与多孔材料直接耦合如图 3(a) 所示，必须满
(
C 1 k 1z −ik 1z z C 2 k 1z ik 1z z 足 3 个边界条件：一个法相应力条件和两个法相位
× e − e
k 2 k 2
1 1 移条件：
)
C 3 k 2z −ik 2z z C 4 k 2z ik 2z z
+ e − e , (2a)
s
f
k 2 k 2 v z = iωW, u = W, u = W. (4)
2 2 z z
f
u = i e −i(k x x+k y y−ωt) 多孔材料通过空气层与板耦合如图 3(b) 所示，
z
(
C 1 k 1z −ik 1z z C 2 k 1z ik 1z z 在多孔材料表面有 3 个边界条件：两个法向应力条
× b 1 2 e − b 1 2 e
k k
1 1 件和一个法向速度条件：
)
C 3 k 2z −ik 2z z C 4 k 2z ik 2z z
+ b 2 2 e − b 2 2 e . (2b) f s
k k −βp = σ , − (1 − β)p = σ ,
2 2 z z
固相和流体相在z 方向的应力为 v 2z = iω(1 − β)u + iωβu . (5)
f
s
z
z
[ s −ik 1z z ik 1z z
s
−i(k x x+k y y−ωt)
σ = e × ε (C 1 e + C 2 e ) 在两层弹性板的表面有两个边界条件：两个法
z 1
]
s
+ ε (C 3 e −ik 2z z + C 4 e ik 2z z ) , (3a) 向速度条件：
2
[
f
f
σ = e −i(k x x+k y y−ωt) × ε (C 1 e −ik 1z z + C 2 e ik 1z z ) v 1z = iωW, v 2z = iωW. (6)
z
1