Page 98 - 《应用声学》2021年第2期

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在声表面波器件结构中，声表面波的能量分布 在第 i次模拟中，波长为 λ i ，其刚度矩阵与质量
区域是与波长 λ 成正比的，从而，在有限元模型中， 矩阵分别为K(λ i ) 和M(λ i )，从而系统矩阵为
模型中每一网格的边长 (长、宽、高) 以及集总成总 2
A(λ i ) = K(λ i ) − ω M(λ i ). (10)
0
模型的边长都与波长 λ 成正比，使得每一网格体积
由前面的分析，可知
和集总成总体积都与波长的立方成正比。由有限元

模拟方法可知，当波长变化时，公式 (2) 中的形函数  K(λ i ) = αK(λ 0 ),
(11)
与波长无关，只与模型中网格的相对位置有关。  M(λ i ) = α M(λ 0 ),
3
为明确不同波长对应的单元系统矩阵间的关
其中α = λ i /λ 0 ，因此，
系，首先考虑单根电极模型网格划分后的任意一个
[ 2 2 ]
长方体单元 R 1 ，其长、宽、高分别用 a、b、c 表示，如 A(λ i ) = α K(λ 0 ) − ω α M(λ 0 ) . (12)
0
图 3 所示。当波长增加 α 倍 (由 λ 增大到 αλ) 时，单 通过式 (12)，建立起了不同波长所对应的系统
元 R 1 的长、宽、高在 y、x、z 三个方向上同比例拉伸 矩阵之间的简易变换关系。只需要选取一个参考波
α 倍，得到单元 R 2 。相比于R 1 ，长方体单元R 2 的体 长 λ 0 ，并得到整体的系统矩阵 A(λ 0 )，然后，利用
3
积V 扩大 α 倍。根据公式 (2) 可知，节点形函数 N a 式 (12)，即可得到任意波长 λ i 时的系统矩阵 A(λ i )。
3
与介质密度 ρ 保持不变，积分区域扩大了 α 倍，R 2 在特定的频域区间内，细化分析频点，获得完整的
e
3
的单元质量矩阵 M 是 R 1 单元质量矩阵的 α 倍。 SAW器件变频后的导纳响应。当波长改变时，这种
3
从而，集总成的整体质量矩阵也增为原来的α 倍。 计算方法大大减少了有限元的模拟计算时间，提高
对于式 (2) 中的刚度矩阵，首先考虑微分算子 了 HCT-FEM 用于 SAW 器件模拟与变频优化时的
D 的作用。在有限元计算中，微分算子 D 是由相邻 计算效率。
节点间的函数差 (这个差值与波长无关) 除以单元
长度得到的，由于单元长度与波长成正比，使得微分 3 仿真验证
算子 D 与波长成反比，刚度矩阵中包含了两次微分
算子。从而，在公式 (2) 中，被积函数与波长的平方 结合上述快速计算方法，利用 HCT-FEM 实现
同步单端 SAW 谐振器的模拟与快速变频过程。谐
成反比，由于单元网格体积与波长的立方成正比，使
◦
得刚度矩阵与波长成正比。 振器的衬底材料设置为 42 YX钽酸锂，其材料参数
由 Kovacs 等 [13] 提出的方法计算获得。电极材料为
因此，在固定的网格划分模式下，当波长增加α
3
倍时，对于模型中的每一网格单元，其质量矩阵和刚 金属铝，密度为 2700 kg/m ，泊松比为 0.35，杨氏模
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3
度矩阵分别增加 α 和 α 倍，进行装配后，模型的整 量为 70 × 10 Pa。单电极参考单元模型的结构参
体质量矩阵M 与刚度矩阵K 中每个元素分别扩大 数如表 2 所示，其中 IDT 根数为 121，左右反射栅为
3
α 与α 倍数。 40 根。
αTa 表 2 单电极参考单元的结构参数
a
Table 2 Structure parameters of single
electrode reference unit
c ӭЋR 1 ӭЋR 2
αTc
名称 波长 膜厚 指宽 基片厚度 PML 层厚度
Z b
Y αTb
值/µm 4 0.32 2 32 8
X
依据表 2 中的结构参数，首先建立波长为 4 µm
图 3 长方体单元在各方向上同比例的拉伸示意图
的参考单元 FEM 模型，提取模型的质量矩阵与
Fig. 3 Schematic diagram of cuboid unit stretched
刚度矩阵，并构建出其系统矩阵 A 0 。当波长调整
in the same proportion in all directions
为 4.01 µm 时，波长的变化因子 α 为 1.0025。利用
根据以上分析，选取一个参考波长 λ 0 ，对应的 式 (12)直接获得新的系统矩阵A 1 ，该过程只包含简
频域分析角频率为 ω 0 ，这时，模型的整体刚度矩阵
单的矩阵乘法，计算速度很快。接着利用单元级联
与质量矩阵分别为K(λ 0 )和M(λ 0 )，其系统矩阵为 算法，在950∼1080 MHz之间，分别计算两种波长的
2
A(λ 0 ) = K(λ 0 ) − ω M(λ 0 ). (9) SAW 谐振器频域响应。图 4 显示了该有限长 SAW
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