Page 96 - 《应用声学》2021年第2期

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点电势 ϕ a ，单元内任意位置 (x, y, z) 的状态通过插
0 引言
值的方式获得：
 n
近年来随着半导体行业的快速发展，声表  ∑ N a (x, y, z)µ a (x a , y a , z a ),
 u(x, y, z) =

面波 (Surface acoustic wave, SAW) 器件在智能传  a=1
n (1)
感、气体检测以及移动通讯等领域取得了一系列  ∑ N a (x, y, z)ϕ a (x a , y a , z a ),
 ϕ(x, y, z) =


卓越的进步 [1−3] ，而快速、精确的模拟理论是支 a=1
撑 SAW 器件发展的关键因素。作为 SAW 器件的 式(1)中，a表示单元的节点序号，n 为节点个数，N a
一种新型数值模拟方法，级联有限元技术 (Hier- 表示该节点对应的形函数。
archical cascade technique-Finite element method, ቇඡࡏ
HCT-FEM) 因其计算速度快、模拟精度高以及具
۳ ۳
备声场计算能力等优势在行业内引起了广泛关 ծஆࡏ వ వ
注 [4−5] 。HCT-FEM 最早由 Koskela 等 [6−8] 提出， ۳अ ӭ ӭ
Ћ
Ћ
其核心是利用 SAW 器件中叉指换能器 (Interdigi- 1 2
tal transducer, IDT) 的周期性，从整体结构中分离 ծஆࡏ
出若干相互独立的基本单元，通过单元边界矩阵
(Boundary matrix) 的级联实现有限长器件结构的 图 1 同步单端 SAW 谐振器的基本单元构成
模拟。在实际的SAW器件设计中，通过优化IDT的 Fig. 1 The basic units of synchronous one-port
指条间距，激发出不同波长的声表面波，调整 SAW SAW resonator
器件的谐振频率。HCT-FEM 需要针对不同的波长 对于模型网格中的任一单元，其刚度矩阵与质
分别建立相应的 FEM 单元模型，频繁的建模、分析 量矩阵为 [10]
以及数据传输过程会消耗大量的计算时间与内存  ∫∫∫ [ ]
T
e
 K = (DN a ) C(DN a ) dV,

资源。针对上述问题，本文提出一种频率变化时的 


V
HCT-FEM快速模拟方法，用于提升SAW器件的模 ∫∫∫ (2)
 e T
 M = (ρN N a )dV,

拟效率。首先分析HCT-FEM中基本单元的系统矩  a

V
阵构成以及不同波长对应单元系统矩阵间的关系。
其中，积分区域 V 为网格单元的体积，ρ 表示介质密
接着引入参考单元模型与波长变化因子，建立单元
度，C 为弹性矩阵，由材料的弹性模量与泊松比决
系统矩阵与波长间的函数关系。利用参考单元的
定。上标T代表矩阵的转置，D 为微分算子，在笛卡
FEM 模型快速计算出不同波长对应的单元系统矩
尔坐标下：
阵。进一步通过单元边界矩阵的级联实现 SAW 器
 
件频域响应的计算与快速变频效果。 ∂/∂x 0 0
 
0 ∂/∂y 0
 
 
1 单元系统矩阵  


 0 0 ∂/∂z 
D =   . (3)
SAW 器件中存在大量周期性排布的结构单元，  ∂/∂y ∂/∂x 0 


 
依据HCT-FEM的基本原理 [6] ，首先从有限长SAW  0 ∂/∂z ∂/∂z 
 
器件结构中分离出若干基本单元。如图 1 所示，当 ∂/∂y 0 ∂/∂x
IDT 的指条间距、电极指宽、膜厚等参数保持不变
e
将上述单元刚度矩阵 K 、质量矩阵 M 集总
e
时，单根指条单元 (基本单元 1) 的不断排布就构成
成模型的整体刚度矩阵 K 与整体质量矩阵 M，构
了完整的 SAW器件结构。图1中基本单元 2表示吸
建不考虑阻尼的系统方程 [7] ：
收层单元，以同样的级联方式叠加声波吸收效果，实
[ 2 ]
现有限长器件左右两侧的自由边界状态 [9] 。 K − ω M U = F , (4)
根据有限元的基本原理，对上述基本单元分别 式 (4) 中，ω = 2πf，表示频域分析的角频率，U 为
建模分析。在压电介质中，考虑模型网格划分后的 模型的整体自由度矢量，F 表示激励源与边界条件。
2
任一单元，其节点上的自由度包括节点位移 u a 与节 令A = (K − ω M)，称为基本单元的系统矩阵。