Page 106 - 《应用声学》2021年第3期

424 2021 年 5 月

其中，第一项为多项式混沌展开的均值，Γ β (ξ) 为各 1.2 Sobol敏感度分析
阶混沌展开项，α β 为对应各阶混沌展开项的系数， 本文使用 Sobol 敏感度指数估计全局非线性敏
表示一组互相独立的环境参数 [18]
ξ i 1 , ξ i 2 , ξ i 3 , · · · , ξ i N 感度 。Sobol 指数和 PCE 具有相似的多项式展
随机变量。 开，并且都使用正交项。因此，一旦计算出 PCE 的
如果用标准正态随机变量来描述不确定参数 多项式系数，就可以直接得到各阶 Sobol 指数和总
变量 ξ，则 PCE 方法可以将模型响应描述为不确定 阶 Sobol 指数的解析解，而不需要任何额外的模型
参数的 Hermite 多项式函数的展开式。对于其他类 计算。根据混沌多项式的正交性可以得到
型的随机变量，可以使用不同的多项式基或进行适 N
∑ ∑
当的变换 [17] 。表1总结了多项式的选择和随机变量 Var[P(ξ)] = D i + D ij + · · · , (7)
i=1 16i<j6N
的分布类型之间的对应关系。
式(7)中，
表 1 随机变量分布与正交多项式之间的关系 ∑ 2
= α . (8)
D i 1 ,··· ,i d β
Table 1 Classical univariate polynomial β∈A
families used in PCE
则Sobol敏感度指数为
∑ α 2
变量分布类型 正交多项式 = D i 1 ,··· ,i d = β , (9)
S i 1 ,··· ,i d
D D
均匀分布 Legendre P k (x) β∈A
N
高斯分布 Hermite H e k (x) ∑ ∑
而且满足 S i + S ij + · · · = 1，其中S i 为
a
伽马分布 Laguerre L (x) i=1 16i<j=N
k
一阶敏感度指数，S ij 为二阶敏感度指数度指标，D
a,b
贝塔分布 Jacobi J (x)
k
为总方差。本文只关注一阶、二阶以及总的敏感度
多项式混沌展开的项数可由展开式的最高阶 指数。
数M 以及随机变量的个数N 确定为
(M + N)! 2 数值计算与分析
M,N
A = . (2)
M!N!
根据稀疏效应原则，只有输入变量之间的低阶 2.1 环境参数设置
相互作用才是最重要的，绝大部分高阶相互作用的 本文选取如图2所示的3层水声信道参数模型，
影响可以忽略。因此可以利用Q 范数来定义一个双 图 2 中确定性参数为声源频率 500 Hz，温跃层下限
曲截断方案： 深度 D 2 = 70 m，海底附近声速为 1500 m/s，其他
{ } 不确定参数及其分布如表 2 所示，其中沉积层的吸
A M,N,q = α ∈ A M,N : ∥α∥ 6 N , (3)
q
收系数根据Hamilton经验公式 [19] 来确定
式(3)中，
β
α (f) = Kf . (10)
( M ) 1/q
∑ q
∥α∥ = α . (4)
q i
C
i=1 
PCE方法的核心是展开系数 {α β } β∈A 的求解。
根据公式(1)可以得到 H  D 
ܦູ D  ଌஆག
T
P(ξ) = P PCE (ξ) + ε = α Γ(ξ) + ε, (5)
式 (5) 中，P(ξ) 是实际输出，P PCE (ξ) 为 PCE 方法 H  α  ρ  C  ොሥࡏ
预测输出，ε为残差。 α  ρ  C  ۳अ
PCE 方法的系数求解问题可以构造为最小二
乘优化问题，使得残差最小化： 图 2 水声信道环境参数模型
Fig. 2 Environmental parameter model of shallow
[ T ]
ˆ α = arg min E α Γ(ξ) − P(ξ) . (6) water acoustic channel
α