Page 74 - 《应用声学》2021年第5期

718 2021 年 9 月

需要注意的是，SVM 的标准输出为置信度 式 (11) 中，K(·) 为核函数，可将非线性数据映射为
ˆ [15] 。 希尔伯特空间中的线性数据，因此，在 RKHS 中认
f(x)，经过 Sigmoid 函数映射得到后验概率 p s
式(9) 说明了对于具有不同错分代价的不平衡样本， 为正负样本线性可分，满足0 < α i < L(1)的正样本
CS-SVM 是贝叶斯最优的。但是，实际样本总是有 即为正类支持向量，分类示意图如图1所示。
+
限的，在独立同分布的采样过程中，k 和 k − 接近， 从图1(b)可知，正类支持向量的后验概率较小，
而对于有限不平衡样本，将 k 和 k 视为先验概率 具有较大的自信息 (虚线同心圆表示)，含有更多的
+
−
s s
是不合适的，因为在采样过程中正类样本存在信息 分类信息，自信息的期望即为香农熵，用来度量样
损失，比如主动声呐探测过程中，受混响、多径效应 本整体的信息，可以发现多数类样本整体包含的信
等因素影响，目标回波往往会发生畸变并伴有能量 息大于少数类样本，导致 CS-SVM 仍有错分的正类
损失，导致目标探测数据稀少。因此，正负样本的信 样本。En-SVM 利用 f H (H shannon )，可使分类结果
息不对称使得式(9)有如下的修正： 对正类样本更加有利，如图 1(c) 所示，“0” 号错分样
 
本获得了一定的置信度。能量统计方法通过计算
ℓ
ˆ
f −−→ sign  p s − 1  , 特征函数间的加权平方距离来表征不同分布之间


−
 C k − 
s
1 + + H (H shannon ) 的差异 [16] ，少数类样本经原始数据空间不完全采
f
+
C k s 样得到，存在信息损失 H shannon ，本质上是其概率
(10)
分布发生了变化，因此，可以用分布差异来度量信
其中，H shannon 代表正类样本采样过程中丢失的信
息损失，得到 f H (H shannon ) 近似解。能量距离表示
息，用香农熵来表示，f H (·) 为其度量准则。基于这
如下：
一思想，本文提出了改进的CS-SVM。
∫
2
D E (p, p ) = ∥φ p (t) − φ p (t)∥
′
′
2 基于能量统计方法的En-SVM R d
  −1
d+1
2.1 信息损失度量  π 2 d+1 
×  ( ) ∥t∥  dt, (12)
 d + 1 
根据拉格朗日对偶性，式(8)的对偶问题如下： Γ
2
ℓ ℓ ℓ
1 ∑ ∑ ∑
min α i α j y i y j K (x i , x j ) − α i , 式 (12) 中，p 和 p 分别表示有限样本和原始数据的
′
α 4ℓλ
i=1 j=1 i=1 概率分布，φ(·) 为其对应的特征函数，对于不同的概
ℓ
∑ 率分布，特征函数总是存在且收敛的，∥ · ∥表示欧几
s.t. α i y i = 0, 0 6 α i 6 L(y i ),
里得范数，Γ(·) 为伽马函数，d 表示特征向量 x 的维
i=1
∀ i = 1, · · · , ℓ, (11) 数。能量距离可以等效地表示为
ᡔࣱ᭧
൤ዝతܸᫎᬦ 0
൤ዝᩲѬನవ 0 1
൤ዝஃેՔ᧚ 1

2 3 4 2 3 4
൤ᆸѬዝನవ
(a) CS-SVMѬዝᇨਓڏ (b) ൤ዝನవᒭηৌ (c) En-SVMѬዝᇨਓڏ
图 1 RKHS 中的不平衡分类
Fig. 1 Imbalance classification in RKHS