Page 96 - 《应用声学》2021年第6期

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的夹角，等于入射声线与其在 xOy 平面投影的夹 方法求解 [10−11] ，当周期结构的轮廓为矩形结构时，
角 γ。 可采用更为简便的直接估算方法 [12] 得到其散射系
数，此处散射系数的计算也表明，本文所推导的迭代
散射模型实际上可适用于具有任意轮廓的周期结
构的情况；R m 为第 m 个反射面上的平面波反射系
y
γ θ s γ
θ i 数，表达式为
x
cos θ m − β m
z R m = , (7)
cos θ m + β m
式 (7) 中，θ m 表示声线入射到第 m 个反射面上时与
图 3 三维空间内的入射声波在周期界面散射示意图 其法线的夹角，β m 表示第 m 个反射面的法向比声
Fig. 3 Scattering of sound waves incident on the 导纳。式(6)中，F(w)为界面损失因子，其表达式为
periodic surface in three dimension space √ −w 2
F (w) = 1 + j πwe erfc (−jw) , (8)
1.2 相干声线跟踪 式 (8) 中，erfc(·) 为比例辅助误差函数，而 w 为数值

通过上述方式确定散射子声线的反射角度后， 距离参数，与声线所经过的距离、入射角以及相应
即确立了周期结构的声线散射模型，此后可采用经 的边界有关：
√
典的相干声线跟踪法完成所有声线的跟踪以及统 w = kd n (1 + j) (cos θ n + β m ) /2. (9)
计。对于每一根声线及其子声线，跟踪其传播路径， 通过上述过程，即可实现对空间内的相干声线跟踪。
当其达到所设置的测点时，即将其记录，若一直未
1.3 适用频段设定
到达测点，则在能量低于某一阈值后对其停止跟踪。
本文所发展的散射模型一个关键处理是在界
最终，在测点处所形成的声场可表示为
面上按照散射性质将原始声线进行迭代处理，在
N
E 0 e jkd dir E 0 ∑ e jkd i
p = + Q i , (4) 此过程中，原始声线有可能经过反射后会迭代为多
4π d dir 4π d i
i=1 根子声线，此处分析了声线数量增长对计算效率的
式(4) 中，等式右侧第一项表示直达声的贡献，第二
影响。
在传统的相干几何法中，选定一根声线，假设
项表示混响声的贡献，其中E 0 表示声源的源强，d dir
表示声源到测点的直达距离，d i 表示到达测点的第
此声线不被吸收，当经过 m 次反射后，其能量衰减
i 根声线所经过的距离，j 为虚数单位，N 表示所有
到限定能量值以下时，即停止对这根声线的跟踪。
到达测点处声线或子声线的数量，Q i 为声线从声源
此过程可以表示为
到达测点之间经过的所有界面的声反射系数，可以 m
E 0 (1 − α) < E T , (10)
由声线传输路径中每次声反射对应的单次反射系
式(10)中，E 0 为声线初始携带能量，E T 为跟踪过程
数依次相乘得到：
中的限定能量值，α 为壁面的吸声系数，m为反射次
M
∏
Q i = Q m , (5) 数。对于这根声线，从其发出到能量过小截止跟踪
m=1 后，其跟踪总次数为
式 (5) 中，M 为声线由声源到测点之间所经过的反 { ( )/ }
r n = ℜ lg E T lg (1 − α) , (11)
射次数，Q m 为每次反射的反射系数，在Lemire相干 E 0
模型中，利用无限大界面上球面波反射场的近似解 式 (11) 中，ℜ {·} 表示取大于内部函数值的最大正
来表示，由于声线在周期结构界面上有可能会发生 整数。
散射，因此此处将其定义为传统反射系数与某阶散 对于本文方法，假设一个选定声线每次反射都
射系数的乘积： 会发生迭代，迭代后的数量假设为固定值 β，即一个
Q m = s mn · (R m + (1 − R m ) F (w)) , (6) 声线会分裂为 β 根子声线；且每根子声线所携带的
能量相同，即声线反射后的能量可以平均分配在每
式(6)中，s mn 为声线发生第m次反射时第n阶散射
根子声线上。此时对于最终的一个子声线，其停止
波的散射系数，即可确定每一个子声线在新的传播
跟踪的过程可以表示为
路径中所携带的初始能量。散射系数的计算值可根
m m
据周期结构中一个子单元凹槽的性质，通过有限元 E 0 (1 − α) /β < E T , (12)