Page 112 - 《应该声学》2022年第2期

280 2022 年 3 月

( ) B ( )
P ij NL = λ ∂u k ∂u k + C ∂u k ∂u l δ ij + B ∂u k ∂u j + A ∂u j ∂u k + ∂u k ∂u k + ∂u k ∂u l δ ij
2 ∂x l ∂x l ∂x k ∂x l ∂x k ∂x i 4 ∂x k ∂x i 2 ∂x l ∂x l ∂x l ∂x k
( ) ( )
∂u k ∂u i A ∂u i ∂u j ∂u k ∂u k ∂u i ∂u k
+ (λ + B) + µ + + + , (2b)
∂x k ∂x j 4 ∂x k ∂x k ∂x i ∂x j ∂x k ∂x j
( )
( ) 2 2 2
A ∂ u i ∂u l ∂ u l ∂u i ∂ u k ∂u k
F i = µ + 2 + +
2
4 ∂x l ∂x j ∂x j ∂x ∂x l ∂x 2 ∂x i
j j
( )
( ) ( 2 2 ) 2
A ∂ u j ∂u i ∂ u k ∂u k ∂ u i ∂u k
+ µ + λ + + B + + (B + λ) 2
4 ∂x m ∂x j ∂x m ∂x i ∂x j ∂x j ∂x ∂x k
j
( ) ( 2 2 ) ( 2 )
A ∂ u k ∂u j ∂ u j ∂u k ∂ u j ∂u k
+ + B + + (B + 2C) , (2c)
4 ∂x i ∂x j ∂x k ∂x k ∂x j ∂x i ∂x i ∂x j ∂x k
其中， 其中，F (u (0) ) 表示在固体非线性条件下由基波位

移产生的驱动力。
1, i = j,

δ ij = (3) 由式 (6a) 结构中频率为 ω 的第 l 阶导波模式位
0, i ̸= j,

移可写为如下形式：
脚标 i、j、k、l、m 均取 1、2、3 且满足爱因斯坦求和
(0)
u (0) (x, z, t) = u l (z) e i(k l x−ωt) , (8)
约定。 l
其中 k = ω/c l 为波数，c l 表示第 l 阶导波模式的传
O x
z  (0) (0) (z)。
播速度，后文中u = u
 l l
z  根据 Auld 理论 [19] ，将式 (7a) 中二次谐波声场
表示为角频率为2ω 时导波模式的线性叠加：
z j֓
j
z j (1) ∑ (1) −2iωt
u (x, z, t) = A m (x) u m (z) e , (9)
m
z N֓
(1)
z N 其中，u m (z) 表示线性条件中频率 2ω 处的第 m 阶
导波模式位移在z 方向的分布，其定义与式 (8)中的
图 1 分层半空间示意图
(0) (z) 相同，体现的是某一特定结构下线性导波模
Fig. 1 The draft of a layered half-space u l
式的固有特性，A m (x) 是微扰条件下由基波振动产
1.2 非线性方程的求解
生的二次谐波模式的振幅，并且其值与传播距离 x
在弱非线性条件下，利用微扰法，将质点位移
有关。根据互易定理，第 m 阶导波模式对应的 A m
矢量u(x, z, t)近似为 可表示为如下形式 [19] ：
u (x, z, t) = u (0) (x, z, t) + u (1) (x, z, t) , (4) A m (x) =
 surf vol
(1)
(0)
其中，u (x, z, t) 和 u (x, z, t) 分别对应声场中的  f m + f m 2ik l x
 e x, k m = 2k l ,

基波和二次谐波，并且二者满足如下关系：  4P mm
vol
f surf + f m e i(k m −2k l )x − 1

(1)
(0)
u (x, z, t) ≫ u (x, z, t) . (5)  m e 2ik l x · , k m ̸= 2k l ,

4P mm i(k m − 2k l )
将(4)式代入式(1)后可得以下线性方程： (10)
2
∂ u (0) (0) 2 (0) 其中，
ρ − (λ+µ)∇(∇ · u ) − µ∇ u =0, (6a)
∂t 2 ∑ N
L
P (u (0) ) · n z = 0, z = 0. (6b) P mm = j=1 P mm(j)
N [ ∫
2
∂ u (1) (1) 2 (1) (0) 1 ∑ z j+ ( L (1)
ρ − (λ+µ)∇(∇ · u ) − µ∇ u =F (u ), = − v (1)∗ · P (u m )
m
m
∂t 2 4 j=1 z j−
(7a) ]
)
(1)
(1)
L∗
L
P (u (1) ) · n z = −P NL (u (0) ) · n z , z = 0, (7b) + v m · P m (u m ) · n x dz , (11a)