Page 113 - 《应该声学》2022年第2期

第 41 卷 第 2 期 贾璐等： 分层半空间表面非线性瑞利波的激发 281

N N [ 用摄动近似法对非线性瑞利波的传播特性进行理
∑ ∑ ]
surf surf (1)∗ NL (0) z j+
f m = f m(j) = −v m P (u l ) · n z ,
z j− 论分析时仅考虑了基波和二次谐波，忽略了二次谐
j=1 j=1
(11b) 波以上的高次谐波，得到以上结论，并未考虑实际传
播过程中二次谐波能量向更高次谐波传递以及声
N N ∫
∑ ∑ z j+ (0)
f vol = f vol = −v (1)∗ · F (u )dz, 波在介质中传播时的衰减，后续研究中将结合实验
m m(j) m l
j=1 j=1 z j− 进行详细讨论。
(11c)
由于不具备距离积累效应的二次谐波很难被
(1)
其中，v m 是频率为 2ω 第 m 阶导波模式的质点速
观察到，因此通常只关心相速度匹配条件下瑞利
度，z j+ 和 z j− 表示第 j 层介质的上表面和下表面， 波二次谐波的特性，定义参数 β m 表示匹配条件
n x 为 x 方向上的单位向量，∗ 表示取共轭，P mm 是 (k m = 2k l )下，第l 阶基波模式产生的瑞利波二次谐
(1)
导波模式 u m 沿 x 正方向的平均功率流 (沿 y 方向
波强度：
取单位长度)，f surf 和f vol 分别为表面牵引力和体积
m m (1) (0) 2
力所提供的面源和体源。值得注意的是，在层状半 β m = b m |u m |/|u l | , (12)
间结构中，最后一层介质为无限大的半空间结构，此 surf vol )/(4P mm )。可见β m 由基波
其中，b m = (f
m + f m
时式 (11a)∼(11c) 的积分下限为负无穷大，与板中 与二倍频波间的能量传递关系，以及线性条件瑞利
导波的展开形式不同。 波的固有激发特性共同决定，是一个随频率和导波
根据式 (10) 可得当导波模式满足如下条件时， 模式变化的变量。但是根据式 (11a)∼(11c)，在固定
将产生随传播距离具有积累效应的二次谐波：(1) 基 (材料、尺寸等) 的分层介质结构和固定频率的声源
频波和某一模式二倍频波相速度匹配，即k m = 2k l ； 激励下，β m 仅由介质的二阶、三阶弹性常数决定，因
(2) 基波和二倍频波之间存在非零的能量流传递，
此通过测量和观察 β m 的大小能够反映分层结构表
即f surf + f vol ̸= 0。在数值计算中 f surf 和f vol 的幅
m m m m 面介质的非线性程度。同时，β m 值越大，相应的二
值均大于等于零，因此仅讨论考虑 f surf 和f vol 不同
m m 次谐波幅值越大，更容易被实际测量。
时为零的情况。已有研究表明当导波模式在深度
surf
vol
方向上具有对称性时，存在 f m = f m = 0 的情 2 数值计算
况 [20] ，而瑞利波在分层结构中传播时其幅值在深
度方向上逐渐衰减、不具有对称性 [21] ，即体驱动力 本节以实际应用中使用较为广泛的双层半空
surf
vol
f m 和面驱动力f m 均不为零。因此在理论上满足 间和含有低速夹层三层半空间结构为例，数值计算
相速度匹配的点，均能产生具有累积效应的二次谐 并分析二次谐波传播规律，选择出模型中适用于实
波，而当 k m ̸= 2k l 时二次谐波不具备积累效应，幅 际检测的声源频率和基波模式。分层结构中的材料
度将随传播距离周期震荡。需要说明的是，本文采 相关参数 [10,22] 如表1所示。

表 1 材料参数
Table 1 Parameters of materials

材料 ρ/(kg·m −3 ) λ/GPa µ/GPa A/GPa B/GPa C/GPa
环氧树脂 1120 3.9 1.28 −100 −83 −106
钢 7874 111 82.1 −760 −250 −179
铝 2700 56 26.5 −400 −200 −115

2.1 双层半空间结构 二倍频瑞利波的频散曲线，它们的交点即为相速度
建立由环氧树脂和钢复合的双层半空间结构 匹配点。图中计算 β m 时，假设基阶频散曲线上的
模型，第一层介质为环氧树脂其厚度 h = 0.01 m。 每一点都存在匹配模式 (匹配模式的速度与基阶模
根据瑞利波频散方程 [21] 绘制该模型的频散曲线如 式相等，频率为基频的 2 倍)，根据公式 (10)，此时匹
图2 所示，S 系列和 s系列分别表示的基频瑞利波和 配模式只能为其自身，即 m = l，最终得到与基频