Page 111 - 《应该声学》2022年第2期
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第 41 卷 第 2 期 贾璐等： 分层半空间表面非线性瑞利波的激发 279
线性声波发射法和导波模式展开法对平面固体结
0 引言
构中导波的非线性问题进行研究；Liu 等 [17] 提出了
分层结构由于其具有高强度、高刚度等优点被 产生具有较强累积效应二次谐波的基波的选择标
广泛应用于各类实际的工程领域。但是分层结构 准；Xiang 等 [18] 对 Lamb 波在复合金属材料中传播
的近表面容易率先出现材料性能退化和微裂纹等 时产生的二次谐波问题进行了相关的理论和试验
损伤，这可能导致构件严重的损坏，甚至造成灾难 研究。
性事故。因此，研究一种无损评估 (Non-destructive 当分层结构的总厚度远大于检测声波波长时，
examination, NDE) 方法以尽早发现缺陷对于确保 认为在结构表面传播的是瑞利波，这种分层结构中
分层结构的安全性和完整性非常重要。相比于线性 的瑞利波区别于经典瑞利波，具有频散和多模的特
超声波检测方法，固体结构中高阶弹性常数对材料 性。通过对瑞利波的频散特性进行反演可以获得介
性能的变化更加敏感，高阶弹性常数的改变将导致 质信息，瑞利波的这一特性已经在地质工程和无损
声波中高次谐波发生变化，因此可以通过对高次谐 检测中得到广泛应用，但对于非线性的频散瑞利波
波的测量反映材料的性能。Landau 等 [1] 建立的固 的研究，由其激发和传播机制的复杂性，在以往的研
体中非线性声波理论为非线性超声检测技术的研 究中很少涉及。
究奠定理论基础。 本文针对均匀分层半空间结构中瑞利波二次
非线性声学根据高次谐波的来源可分为经典 谐波的激发和传播规律进行研究。采用二阶微扰近
非线性声学和接触非线性声学，其中接触非线性主 似法和模态分解得到结构中二次谐波的位移解析
要指结构中接触类微损伤与声波相互作用产生的 式，根据瑞利波频散曲线得到基波与二倍频波相速
非线性特征，国内的刘晓宙等 [2−5] 对其做了大量研 度相等的匹配点，针对不同分层结构中的匹配模式
究。另一类经典非线性问题则与材料晶格的非简谐 的二次谐波传播特性进行理论分析和数值计算，为
效应有关，本文讨论的问题是基于经典非线性声学 实际检测中选择合适的声源频率和瑞利波模式提
理论。Cantrel 等 [6] 由离散晶格模型建立各向同性 供理论依据。
介质中的非线性弹性波方程，通过摄动法对一维非
线性纵波进行求解，得到谐波幅值与非线性系数的 1 理论基础
关系，并展开相关实验研究。张世功等 [7] 利用有限
1.1 非线性波动方程
元仿真和实验研究分析一维非线性声波传播过程，
建立二维直角坐标系 Oxz，各向同性 N 层半空
提出具有一定物理意义的二次谐波随传播距离变
间结构分布在z > 0范围内，z < 0为真空，如图1所
化的数学关系。税国双等 [8] 运用非线性纵波对列
示，z = 0 表示第一层介质的上表面，层与层之间满
车外圆弹簧的疲劳损伤进行实验检测，初步实现非
足应力和位移连续的边界条件。自由表面条件下的
线性超声对特殊结构的检测。钱祖文 [9] 推导了弹
非线性波动方程和边界条件分别为 [1]
性介质中二阶势函数的波动方程，并研究各向同性
2
∂ u
2
介质中纵波和横波非线性作用。在非线性瑞利波的 ρ − µ∇ u − (λ + µ) ∇ (∇ · u) = F , (1a)
∂t 2
研究方面，Zaboloskaya 等 [10−11] 基于哈密顿理论 ( L NL )
P + P · n z = 0, z = 0, (1b)
公式对各向同性固体介质表面传播的非线性瑞利
其中，u表示位移矢量，n z 是z 方向上的单位向量，ρ
波进行理论研究，并通过数值方法验证。Herrmann
为无形变时固体的密度，λ和µ 表示拉梅系数，A、B
等 [12] 基于声表面波的纵波分量推导出瑞利波非线
L
和 C 代表 landau 形式的三阶弹性系数，P 为第一
性系数，并且提出一种测量金属模型中瑞利波二次
阶 Piola-Kirchhoff 应力张量的线性项，P NL 为第一
谐波的方法。然而这些体波和非频域表面波理论部
阶 Piola-Kirchhoff 应力张量的非线性项，F 是第一
分大多近似为一维非线性纵波，并且局限于均匀单
阶 Piola-Kirchhoff 应力张量非线性项的散度，它们
一结构中。近年来，频散导波由于其能量大、衰减
分别表示为
小等优势，引起了学者广泛研究。Lima 等 [13] 采用
( )
L
微扰法和互易定理探究板中 Lamb波二次谐波产生 P = λ ∂u k δ ij + µ ∂u i + ∂u j , (2a)
ij
∂x k ∂x j ∂x i
条件和传播规律；邓明晰等 [14−16] 分别通过界面非
