Page 73 - 《应用声学》2022年第4期

第 41 卷 第 4 期 傅艳莉等： 各向异性扩散滤波远探测声波测井图像降噪方法 571

     
式(1) 中，U 是待处理的数据；a 为扩散系数，在各向 ( )
µ 1 v 1 a b
同性扩散中 a 是一个常数；t 为扩散时间。由于上述 D = v 1 v 2     =   , (6)
µ 2 v 2 b c
滤波器的扩散系数为常量，即对图像各个方向的扩
式 (6) 中，µ 1 和 µ 2 是两个扩散方向的扩散强度，主
散强度是一样的，不能起到保护图像边缘和细节信
要有 3 种设置方法：相干增强扩散模型 [16] 、边缘增
息的作用。为了克服这个缺点，Perona等 [6] 提出了
强扩散模型 [17] 和混合扩散模型 [18] 。
非线性的各向异性扩散滤波模型：
∂U 相干增强扩散模型在执行过程中，会使得待处
= div(g(∥ ∇U ∥)∇U), (2)
∂t 图像的每个像素都沿着相干方向进行扩散，它的特
式 (2) 中，将扩散系数设定为关于图像梯度的非负 征值取值与结构张量 S ρ 的两个特征值 λ 1 和 λ 2 的
单减函数 g(∥ ∇U ∥) ，满足 g(0) = 1，g(∞) = 0。但 关系有关，设定为
是 P-M 模型由于选取的扩散系数是一个标量，没
µ 1 = α,
有考虑到图像的纹理特征，使得扩散结果存在阶梯

( )
效应。  α + (1 − α) exp − c 1 /k , 其他,
µ 2 = (7)
Weickert [7] 将结构分析引入扩散滤波中，将扩  α, k = 0,
散系数变为结构张量，使扩散随方向变化而变化，在
式 (7) 中，参数 α 为一很小的正实数，控制扩散滤
去噪的同时保护了图像的线性纹理特征。构建了如
波过程中对不连续结构特征的保持程度，一般取
下扩散模型： 0.001，使图像梯度变化较大方向的扩散强度很小，
∂U
= div(D · ∇U), (3) 保护图像的结构信息；k 表征图像不同方向的相干
∂t
( ) 性，表示为k = (λ 1 − λ 2 ) ；c 1 为阈值，通常取为1。
2
a b
式(3)中，D = 是扩散滤波器中的扩散系数,
b c 在图像相干性较高的区域，µ 2 约等于1，也就是
决定了扩散滤波器的滤波性能，设计合理的扩散张
说沿着特征向量v 1 方向的扩散强度很小，近似于不
量是扩散滤波要解决的关键问题。利用图像的梯度
进行扩散，主要沿着特征向量 v 2 的方向进行扩散；
结构张量得到图像的局部结构信息，进而构建扩散
而在各向同性区域，v 1 和v 2 两个方向的扩散强度都
张量。为了图像处理的稳定，使用尺度为 ρ 的结构
很小，因此可以有效地保护图像的结构信息。
张量：
 边缘增强扩散体现在沿边缘方向扩散大而垂
S ρ = G ρ ∗ (∇U σ · ∇U ), 直边缘方向扩散小，以保护图像边缘结构。其扩散
 T
σ
(4)
U σ = G σ ∗ U,
 张量的特征值设定为
 ( )
式 (4) 中，* 为卷积运算符，G 为高斯核函数，σ 为噪  1 − exp − c 2 , 其他,

2
声尺度，用以控制滤波过程中需要保护对象的最小 µ 1 = (gradA/e ) 4

 1, gradA < 1 × 10 −15 ,
尺寸，ρ为整合尺度，一般整合尺度应大于噪声尺度。
结构张量 S ρ 是 2 × 2 的对称半正定矩阵，对其进行 µ 2 = 1, (8)
特征分解：
式 (8) 中，c 2 和 e 为正实数，分别取 3 和 0.02；gradA
[ ] ( )
( ) T
λ 1 0 v 为图像U 两个方向梯度的平方和。µ 2 = 1即在垂直
1
S ρ = v 1 v 2 T , (5)
0 λ 2 v 2 于梯度方向扩散强度始终为 1；而在梯度方向的扩
式(5) 中， v 1 和v 2 为梯度结构张量的两个特征向量, 散强度取决于图像两个方向梯度的平方和 gradA,
v 1 是梯度变化最大的方向，v 2 是垂直于梯度变化的 这个值越大，µ 1 越小，说明梯度方向的扩散越小。有
方向；λ 1 和 λ 2 为梯度结构张量相对应的非负特征 效地识别图像边缘，对边缘起到保护与增强作用。
值，且λ 1 > λ 2 ，特征值反映了信号在局部特征方向 混合各向异性扩散是将相干增强扩散与边缘
的变化强度。 增强扩散结合起来。其扩散张量的特征值设定为
扩散的方向由结构张量的特征向量决定，要保  ( )
 c 2
 n 1 = 1 − exp − ,
2 4
证扩散张量的特征向量与结构张量的特征向量相 (gradA/e ) (9)
一致：  n 2 = 1,
