Page 40 - 《应用声学》2023年第1期

36 2023 年 1 月

A 基于简化 Lamb 波模式的考虑，该文仅研究反
对称模式中的 A 0 模态。之所以选择 A 0 模态进行分
析，是因为反对称模态 (A) 的位移幅值相较对称模
θ i
n i ϕ ϕ+dϕ 态 (S) 大很多，在超声无损检测等其他应用中有着
n t B x
dx
更广泛的应用。而且 A 0 模态是常用超声激励频率
θ t
下最容易出现的模态，因此对其进行分析是利用
超表面调控 Lamb 波的良好开端。根据式 (4) 可以
C
解得薄板中特定频厚积下对应 A 0 模态的相速度 c p ，
图 1 广义 Snell 定律原理图 进而可求得板中波长λ 1 。
Fig. 1 Schematic diagram of generalized Snell’s law 同样亦可以给出梁结构的弯曲波经典方程 [26] ：
4
∂ w(x) 2
在同一种均质材料中，通常可表示为 EI − ρSω w(x) = 0, (5)
∂x 4
λ dφ 其中，EI 为刚度，w 为梁的挠度，ω 为角频率，S 为梁
sin θ t − sin θ i = . (2)
2π dx
的横截面积。
值得一提的是，当相位梯度项dφ/dx置0时，公
进而求得方程(5)的通解为
式(1)就简化成了经典Snell折射定律。
而对于薄板中传播的波经过梁型结构的超表 w(x)=A 1 e k 2 xi +A 2 e −k 2 xi +A 3 e k 2 x +A 4 e −k 2 x , (6)
面透射，如图 2 所示，其实质为波先在薄板中传播， ( ρSω 2 ) 1/4
其中，k 2 = ，从而梁中波传播的波长可
后经由梁结构透射。因此需要分别对薄板中 Lamb EI
( EI ) 1/4
波和梁中弯曲波的传播情况进行分析。根据现有 表示为λ 2 = 2π/k 2 = 2π 。
ρSω 2
文献，均质薄板在高频下的波动特性一般可采用 由薄板中波的相速度可以计算得到 λ 1 并代入
Rayleigh-Lamb方程描述 [25] ： GSL 公式 (2) 中，结合给定的入射角度设计相应的
√ √ √
2
2
tan( 1 − ς d) 4ς 2 ξ − ς 2 1 − ς 2 相位梯度，即可得到任意需要的透射角度。而梁中
√ = − 2 , (3) 波长λ 2 则可用于设计梁状超表面结构的尺寸，构造
2
2
tan( ξ − ς d) (2ς − 1)
√ √ √ 相应的相位梯度dφ/dx。
2
2
2
tan( ξ − ς d) 4ς 2 ξ − ς 2 1 − ς 2
√ = − , (4)
2
2
tan( 1 − ς d) (2ς − 1) 1.2 超表面结构设计及GSL理论验证
√
其中：ς = c t /c p ，ξ = c t /c l ，其中 c t = µ/ρ、 该文设计了一种全新的曲梁型超表面结构，由
√
c l = (λ + 2µ)/ρ、c p 分别表示横波波速、纵波波 一系列曲梁构成，其单胞如图 3(c) 所示。曲梁的曲
速以及Lamb相速度，µ和λ表示切变模量和拉梅常 面截线方程表达式为 f i (x) = h i [1 − cos(πx/nλ 2 )]，
数，ρ 为材料密度；d = k t e/2，e 为板厚，k t 为横波波 如图 3(a) 所示。其中 x ∈ (0, 2nλ 2 )，下标 i 表示单
数。式 (3) 和式 (4) 分别对应 Lamb 波传播的对称模 胞中曲梁编号，取i = 1, 2, · · · , 11，h i 表示各曲线峰
式(S模态)和反对称模式(A模态)。 值高度的一半，λ 2 为梁中波长，n 为待定系数，固定
n = 1.95，将跨度 l 设置 3.9λ 2 ，即 36.8 mm。当波经
过曲梁结构时，构造波出射时 0, 0.2π, 0.4π, · · · , 2π
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的相位差，然后根据 dφ = k 2 ds(其中 φ 为相位，s 为
波程，k 2 为梁中波数) 得到不同的曲梁长度 s i ，由曲
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线积分
∫
2nλ 2 √
2
s i = 1 + [f (x)] dx
′
i
0
计算h i 的值，最后以计算设计的11根曲梁为单个周
图 2 板 -梁结构示意图 期进行排布构建超表面单胞。经过上述分析和计算
Fig. 2 Schematic diagram of sheetbeam structure 得到的各曲梁高度半数 h i 和出射相位 φ i 如图 3(b)