Page 150 - 《应用声学》2023年第3期

588 2023 年 5 月

ˆ
将式(8)两端减去最优滤波器可以得到 理次级通路为 S m ，且不存在估计误差，其次使用的
ˆ
[ ] 虚拟次级通路为虚拟次级通路的对角阵 S vd ，而使
ˆ ˆ H
y(n + 1) − y(∞) = I − µS v S v (y(k) − y(∞)) ,
¯
用的观测通路为 O，区别于 MRMT 算法所使用的
(11)
观测通路。通过这种方法估计得到的误差信号可以
这里假设物理次级通路矩阵的估计不存在误差，从
表示为
式(11)中可以得到，算法收敛的必要条件为
¯ ˆ
ˆ
ˆ e v = Od m + S vd W x. (14)
Re(λ j ) > 0, j = 1, 2, · · · , J, (12)
在算法的控制阶段，系统通过最小化估计误差
ˆ ˆ H
其中，λ j 为特征矩阵S v S v 的第j 个特征值，可以看
出，当物理次级通路矩阵的估计不存在误差时，矩阵 信号的均方误差以实现最优的控制效果，此时，估计
误差信号的均方误差可以表示为
ˆ ˆ H
S v S 为正定矩阵，因此收敛条件一定能够得到满
v
ˆ ˆ H
[ (
足。而算法的收敛速度取决于矩阵S v S 的条件数， J 1 = tr E ˆ e v ˆ e H )]
v
v
即最大特征值与最小特征值的比值。 [ H ¯ H H H ˆ H
¯
¯
= tr OP m S vv P O + OP m S vv R W S vd
m
如 果 直 接 采 用 分 布 式 的 远 程 虚 拟 传 声 器
ˆ
H ¯ H
算 法 (Distributed remote microphone technique, + S vd W RS vv P O
m
]
ˆ
H
H ˆ H
DRMT) [3] ，其更新公式为 + S vd W RS vv R W S vd , (15)
ˆ
y(k + 1) = y(k) − µS vd ˆ e v (k), (13) 其中，S vv 为初级噪声源信号源强的自相关矩阵。令
ˆ
ˆ
其中，S vd 为次级通路估计 S v 的对角阵，此时该算 代价函数对控制滤波器W 的导数为0，即：
ˆ
ˆ H
法的收敛性能由特征矩阵S vd S v 的特征值决定，而 ∂J 1 = 2 S S vd W RS vv R + S vd OP m S vv R H )
(
ˆ H ˆ
ˆ
H
¯
该矩阵的特征值的实部可能会存在小于零的情况， ∂W vd
从而会导致算法发散。 = 0, (16)
可以得到最优的控制滤波器为
2 算法原理
[ ] −1
ˆ H ˆ ˆ ¯
W opt = − S S vd S vd OP m S vv
vd
2.1 所提算法 [ ] −1
× R H RS vv R H . (17)
从上面的分析可以看出，MRMT算法的收敛速
ˆ ˆ H
度受到矩阵 S v S 条件数的影响。直接采用分布式 假设系统可以达到最优控制效果，则虚拟传声
v
更新，虽然减少了更新时所需要的计算量，但是收敛 器处真实的误差信号为
性条件可能无法满足，同时系统的收敛速度会受到
e v = d v + S v W opt x, (18)
ˆ
ˆ H
S vd S 条件数的影响。如果能够在实现分布式的更
v
新的同时，降低特征矩阵的条件数，则就能在降低 由于虚拟传声器算法的最终效果，是最小化系统达
计算量的同时，提升系统的收敛速度。为了实现这 到最优控制效果后真实虚拟传声器处误差信号的
一目标，需要重新设计 MRMT 算法的离线优化阶 均方误差，将式(17) 得到的最优滤波器带入式 (18)，
段。首先假设估计虚拟传声器误差信号所使用的物 可以得到真实目标位置的均方误差为
[ ] −1 [ ] −1
[ ( H )] H H ¯ H ˆ H
ˆ H ˆ
ˆ H ¯
ˆ H ˆ
J 2 = tr E e v e v = tr[P v S vv P v + S v S S vd S OP m S vv P O S vd S S vd S v
vd
vd
m
vd
[ ] −1 [ ] −1
H ¯ H ˆ ˆ H ˆ H ˆ H ˆ ˆ H ¯ H
− P v S vv P O S vd S S vd S − S v S S vd S OP m S vv P ]. (19)
v
v
vd
vd
vd
m
¯
为了得到在分布式更新算法下最优的观测传递函数，将上面的代价函数对O 求偏导，并且令导数为0：
( )
[ ] −1 [ ] −1
∂J 2 ˆ ˆ H ˆ S H ˆ H ˆ S OP m S vv P H − P v S vv P H = 0, (20)
ˆ H ¯
¯
vd
vd
∂O = 2S vd S S vd v S v S S vd vd m m
得到新的最优观测传递函数为
[ ] −1
[ ] −1 ] −1
¯ ˆ H ˆ ˆ H H [ H
O opt = S v S S vd S vd P v S vv P m P m S vv P m , (21)
vd