Page 104 - 《应用声学》2023年第4期

766 2023 年 7 月

积分 [14] ： 足无限远处的边界条件，上行传播的分量必须为 0，
∫
∞ (1) −
ψ (r, z) = ψ (k r , z) H (k r r)k r dk r , (1) 故有A = 0。
3
0
0 根据海面处声压为 0、界面处质点位移和声压
其中，核函数 ψ(k r , z) 是与深度有关的格林函数同
连续的边界条件，联立可得以下方程组：
深度分离的波动方程的齐次解的叠加：
 S w e ik z,1 z s
+
ψ (k r , z) = −s w [g w (k r , z, z s ) + H w (k r , z)] . (2) A + A = i ,
−


1
1

 4πk z,1

假定一个强度为 S w 时间关系为 e −iωt 的声源  + ik z,1 H − k z,1 A e +

− −ik z,1 H
k z,1 A e

 1 1 − k z,2 A 2
在海水中位于深度 z s 处，此时图 1 所示模型下汉克 


 ik z,1 (H−z s )
 ie
尔变换的核函数为  − ,


2
 +k z,2 A = k z,1 S w
  4πk z,1
e ik z,1 |z−z s | + ik z,1 z 
 + A (k r )e
ψ 1 (k r , z)=S w 1 + ik z,1 H − −ik z,1 H +
ρ
 4πik z,1 + ρ 1 A e
  1 A e − ρ 2 A
 1 1 2
 
 
 − −ik z,1 z  ik z,1 (H−z s )
 + A (k r )e ,  ie
1 
−
(3)  −ρ 2 A = ρ 1 S w ,
2


 4πk z,1
 
 + ik z,2 z − −ik z,2 z 
ψ 2 (k r , z)=A (k r )e +A (k r )e ,  +

+ ik z,2 d
− −ik z,2 d

 2 2 k z,2 A e − k z,2 A e − k z,3 A = 0,

 2 2 3
 
 + ik z,3 z −ik z,3 z 
−
 ψ 3 (k r , z)=A (k r )e +A (k r )e , 
3
3

+

+ ik z,2 d
− −ik z,2 d
 ρ 2 A e + ρ 2 A e − ρ 3 A = 0,
2 1/2
2
其中，k z,i = (k − k ) ，而 k i = ω/c i 是角频率为 2 2 3
i
r
ω 时第 i 层的波数，k r = ω/v 是角频率为 ω 相速度 (4)
为v 时的水平波数，即本征值。在海底中，由于要满 进而可得到幅度齐次解的矩阵方程：
 
S w e ik z,1 z s
i
   
 4πk z,1 
1 1 0 0 0 A +  
1
     ie ik z,1 (H−z s ) 
 
 ik z,1 H −ik z,1 H   
 k z,1 e −k z,1 e −k z,2 k z,2 0   A   k z,1 S w 
−
   1   4πk z,1 
 
 ik z,1 H −ik z,1 H   + 
 ρ 1 e ρ 1 e 0   A  =  ie ik z,1 (H−z s )  . (5)
−ρ 2
−ρ 2
2  
   
 ρ 1 S w 
 k z,2 e ik z,2 d −k z,2 e −ik z,2 d   −   
 0 0 −k z,3   A  4πk z,1
2  
   
 
+
0 0 ρ 2 e ik z,2 d ρ 2 e −ik z,2 d A  0 
−ρ 3
3  
0
矩阵方程 (5) 的解对于使系数矩阵的行列式为 1.2 沉积层简正波频散特性分析
0的那些水平波数值具有极点。系数矩阵行列式为 在图 1 所示模型下，水层波数 k 1 、沉积层波数
[
2
det(k r ) = 4ρ m 1 m 2 k z,1 k z,2 cos x cos y k 2 和基底波数k 3 的大小关系为k 3 < k 1 < k 2 。根据
1
− m 2 k 2 sin x sin y 本征值的分布区间，将简正波分为以下4 类：水层简
z,2
正波、沉积层简正波、泄露简正波和渐消简正波。其
− im 1 k z,2 k z,3 sin x cos y
2 ] 中，水层简正波本征值满足 k 3 < k r < k 1 ，其模式深
− im k z,1 k z,3 cos x sin y , (6)
1
度函数在海水和沉积层中振荡分布，在基底中按指
其中，m 1 =ρ 2 /ρ 1 ，m 2 =ρ 3 /ρ 1 ，x=k z,1 H，y=k z,2 d。
数规律衰减，声能主要集中在水层中；沉积层简正波
令系数矩阵行列式等于0，可得3层均匀介质波
本征值满足 k 1 < k r < k 2 ，其模式深度函数只在沉
导的特征方程，即频散方程：
积层中振荡分布，在基底和水层中按指数规律衰减，
tan x tan y = s − iq(s tan y + tan x), (7)
声能主要集中在沉积层中；泄露简正波本征值满足
m 1 k z,1 m 1 k z,3
其中，s = ，q = 。该频散方程为本 0 < k r < k 3 ，声波将辐射到基底中，导致声能从波
k z,2 m 2 k z,2
征值的超越方程，求解该方程即可得到各阶简正 导泄露出去；渐消简正波本征值满足 k r > k 2 ，声波
波的本征值 k r 和相速度 v，群速度可由其定义式 在水层、沉积层和基底中都按指数规律衰减，对于
V g = dω/dk r 得到。 液态海底，频散方程在这一谱域没有极点，即不存在